Różnica macierzy Grama

Question

Mam funkcję o wartościach macierzowych $M=AXX^\top A^\top$i szukam wyrażenia na jego pochodną w odniesieniu do każdego elementu $X$. Tutaj$A$ jest $n\times n$ i $X$ jest $n\times m$ z $m\leq n$

Więc szukam czegoś w formie $\frac{\partial M}{\partial X_{ij}} = D^{ij}$ z $D^{ij}_{kl} = \frac{\partial M_{kl}}{\partial X_{ij}}$.

Przeglądając książkę kucharską Matrix, nie udało mi się znaleźć tego ani żadnych bardziej ogólnych wyrażeń, które wydawałyby się pomocne.

Najbliższa, jaką udało mi się znaleźć, była tożsamość:$$\frac{\partial}{\partial X} b^\top X^\top X c = X (bc^\top + cb^\top)$$ gdzie $b$ i $c$są wektorami. Wydaje mi się, że może to zawierać rozwiązanie, ale nie jestem pewien, jak to uogólnić.

Answer 1

Możemy obliczyć pochodną $\frac{dM}{dX}$ jako pochodna kierunkowa: \begin{align*} \frac{dM}{dX}(Y) &= \lim_{t \to 0} \frac{M(X + tY) - M(X)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{A(X+tY) (X+tY)^\top A^\top - AXX^\top A^\top}{t} \, . \end{align*} Upraszczając licznik, znajdujemy \begin{align*} A(X+tY) (X^\top+tY^\top) A^\top - AXX^\top A^\top &= A(X+tY) (X^\top+tY^\top) A^\top - AXX^\top A^\top\\ &= A (X X^\top + tY X^\top + tXY^\top + t^2 Y Y^\top) A^\top - AXX^\top A^\top\\ &= tA(Y X^\top + XY^\top)A^\top + t^2 A Y Y^\top A^\top \, . \end{align*} A zatem \begin{align*} \lim_{t \to 0} \frac{A(X+tY) (X+tY)^\top A^\top - AXX^\top A^\top}{t} &= \lim_{t \to 0} \frac{tA(Y X^\top + XY^\top)A^\top + t^2 A Y Y^\top A^\top}{t}\\ &= \lim_{t \to 0} A(Y X^\top + XY^\top)A^\top + t A Y Y^\top A^\top\\ &= A(Y X^\top + XY^\top)A^\top \, . \end{align*}

Jak wspomniano w komentarzach, częściowe $\frac{\partial M}{\partial X_{ij}}$ można znaleźć, zastępując $Y = E_{ij}$, macierz z $1$ w $i,j$wpis i zera w innych miejscach. Więc\begin{align*} \frac{\partial M}{\partial X_{ij}} &= \frac{dM}{dX}(E_{ij}) = A(E_{ij} X^\top + XE_{ij}^\top)A^\top = A(E_{ij} X^\top + X E_{ji})A^\top \, . \end{align*}