Sheafification of a subpresheaf

Question

Pozwolić $\mathscr{F}$ być podrzędem snopa $\mathscr{H}$. Jeśli dobrze zrozumiałem, w tym przypadku snop ma szczególnie prostą formę. To snop zdefiniowany przez$$\widetilde{\mathscr{F}}(U)=\{s\in \mathscr{H}(U)\:|\:s\text{ locally lies in }\mathscr{F}\},$$ gdzie to mówimy $s\in \mathscr{H}(U)$ lokalnie leży w $\mathscr{F}$ czy jest otwarta pokrywa $\{U_i\}$ z $U$ takie że $s|_{U_i}\in \mathscr{F}(U_i)$ dla każdego $i$.

Oczywiste jest, że jest to rzeczywiście snop, ale nie widzę, w jaki sposób spełnia on uniwersalną właściwość snopa.

Pomyślałem o zrobieniu tego w następujący sposób: naprawdę uważam, że ta konstrukcja jest funktorem w $\mathscr{F}$. Przypuśćmy, że biorąc pod uwagę morfizm$\mathscr{F}\to\mathscr{G}$ powinniśmy mieć indukowany morfizm $\widetilde{\mathscr{F}}\to\widetilde{\mathscr{G}}$ co pokrywa się z naszym pierwotnym morfizmem przy ograniczaniu do $\mathscr{F}$. Gdyby$\mathscr{G}$ jest snopem, $\widetilde{\mathscr{G}}=\mathscr{G}$a więc daje to nasz pożądany morfizm. Ale naprawdę nie rozumiem, dlaczego ta konstrukcja jest funktionalna$\mathscr{F}$.

Answer 1

Biorąc snop $\mathscr{G}$ i morfizm presheaves $f:\mathscr{F}\to \mathscr{G}$, możesz bezpośrednio skonstruować morfizm presheaves (a więc snopów) $\widetilde{f}:\widetilde{\mathscr{F}}\to \mathscr{G}$ to się rozciąga $f$. Biorąc pod uwagę sekcję$s\in \widetilde{\mathscr{F}}(U)$, wybierz dowolną otwartą okładkę $\{U_i\}$ z $U$ takie, że ograniczenia $s\mid_{U_i}$ leżeć w $\mathscr{F}$. Następnie możesz złożyć wniosek$f$ do każdego z tych ograniczeń i przyklej ich obrazy, aby uzyskać $\widetilde{f}(s)\in \mathscr{G}(U)$. Nietrudno sprawdzić, czy jest to dobrze zdefiniowane, czyli niezależne od otwartej okładki i że faktycznie$\widetilde{f}$ to wyjątkowe rozszerzenie $f$. Ten ostatni to pokazuje$\widetilde{\mathscr{F}}$ jest snemfikacją.

Jeśli chodzi o funkcjonalność, o której wspominasz, twoja definicja wymaga wyboru snopa $\mathscr{H}$, Nie jestem pewien, jak to nadać sens (oczywiście wiesz po fakcie, że sheafifikacja jest funktorem przez właściwość uniwersalną).

Answer 2

Zakładam $\mathscr H$ jest snopem grup abelowych w przestrzeni topologicznej $X$.
Od$\mathscr H$ jest snopem, dzięki uniwersalnej własności snopów, morfizmowi pre-snopów $\iota:\mathscr F\hookrightarrow\tilde {\mathscr F} $ czynniki poprzez $\mathscr F\xrightarrow{j}\mathscr F^{sh}\xrightarrow{\bar \iota }\tilde{\mathscr F}$. Żeby to zobaczyć$\bar \iota: \mathscr F^{sh}\rightarrow \tilde {\mathscr F}$jest izomorfizmem, wystarczy sprawdzić na poziomie łodyg.
Zauważ, że na poziomie łodyg mamy za$x\in X$, przestrzeń bazowa, kompozycja $$\mathscr F_x\xrightarrow{j_x}\mathscr F^{sh}_x\xrightarrow{\bar \iota_x }{\tilde{\mathscr F}}_x=\mathscr F_x $$która jest tożsamością. Ponadto,$j_x$jest izomorfizmem. Wynika to z samej konstrukcji snopa. A zatem$\bar \iota_x$ jest izomorfizmem dla każdego $x\in X$ i stąd $\bar \iota $ jest izomorfizmem.

Uwaga: standardowa konstrukcja$\mathscr F^{sh}$ jest do rozważenia $\mathscr F$ jako podszewka snopu łodyg $\mathscr H(U):=\{\prod_{x\in U}s_x: s_x\in \mathscr F_x \}$ a potem spójrz na $\tilde {\mathscr F}$ w tym snopie.