Skład elementów podgrupy

Question

Proszę zweryfikować następujący dowód.

---

Pozwolić $H$ być podgrupą grupy abelowej $G$ z elementami $h \in H$ i $g \in G$ ale $g \notin H$.

Twierdzenie

Produkt $gh \notin H$.

Dowód

Pozwolić $x = gh$. Założyć$x \in H$, a następnie mnożąc przez $h^{-1} \in H$ mamy to $xh^{-1} = gh(h^{-1}) = g(h h^{-1}) = g$. Więc skomponowaliśmy dwa elementy$H$ i otrzymałem element $g \notin H$ a to narusza zamknięcie podgrupy $gh \notin H$. $\square$

Answer 1

Hipoteza: $H\leq G, g\in G-H, h\in H$.

Przypuszczam, że $gh\in H$ i będziemy mieli sprzeczność /

Od $h\in H$ i $H$ to podgrupa, którą mamy $h^{-1}\in H$.

Od $h^{-1}, gh\in H \Rightarrow (gh)\cdot h^{-1}=g\in H$ sprzeczność.

Wykorzystałem ten fakt, że „jeśli $a,b\in H\leq G$ następnie $ab,ba\in H$"

Answer 2

w rzeczywistości

Jeśli $H$ jest podgrupą $G$ i $h \in H$, to dla wszystkich $g \in G$ mamy $gh \in H \iff g \in H$.

W rzeczy samej, $gh \in H \implies g \in Hh^{-1} \subseteq H$. Odwrotnie,$g \in H \implies gh \in H$. Oba roszczenia wynikają z powodu$H$ jest podgrupą, więc jest zamknięta pod iloczynami i odwrotnie.

Answer 3

Tak. Albo możesz powiedzieć, że pokazałeś$g\in H$. Tak czy inaczej, sprzeczność. To kończy dowód.