Skończoność $\pi_n(Top/O)$

Question

Dla $n>4$ można zidentyfikować $\pi_n(Top/O)$ poprzez teorię wygładzania jako klasę zgodności gładkich struktur $S^n$gdzie dwie struktury są zgodne, jeśli wiążą gładką strukturę na produkcie z interwałem. Widziałem, jak twierdził, że te grupy homotopii są skończone, na przykład, gdy jest twierdzone$BO \rightarrow BTop$ jest racjonalną równoważnością.

Chciałoby się skorzystać z pracy Kervaire'a i Milnora, która pokazuje skończoność zorientowanych sfer homotopii, ale nie widzę, jak przejść od stwierdzenia o typie diffeomorfizmu do stwierdzenia o klasie konkordancji. Czy to prawda, że ​​sfera zgodna jest równoznaczna z diffeomorfią? Ta zgodność implikuje, że dyfeomorfizm jest prawdziwy w świetle twierdzenia h-kobordyzmu, ale uważam, że dla niektórych rozmaitości przynajmniej inna droga nie jest prawdą.

Answer 1

Tutaj w zasadzie powtarzam tylko to, co Siebenmann napisał w eseju V tomu Kirby-Siebenmanna, pobierając niektóre definicje z wczesnych rozdziałów:

Pozwolić $n \geq 5$. Dzięki pracy Kirby'ego i Siebenmanna na temat łączności$Top(n)/O(n) \rightarrow Top/O$, $\pi_n(Top/O)=\pi_n(Top(n)/O(n))$. To ostatnie jest tym, z czym zdecydujemy się pracować. W sekcji 5.3 przestrzeń$\Omega^n Top(n)/O(n)$ utożsamiano z przestrzenią wygładzeń $S^n$w stosunku do dysku o standardowej gładkiej strukturze. W związku z tym,$\pi_n(Top(n)/O(n))$ to klasy zgodności takich gładkich struktur.

Możemy rozważyć włączenie takich wygładzeń do wygładzeń homotopii programu $S^n$względem dysku (może do h-kobordyzmu?). Suriektywność wynika z hipotezy Poincarego, a iniekcyjność z tego, co Siebenmann nazywa „izotopią Aleksandra”, nie jestem pewien, co to jest.

Następnie ten zestaw wygładzeń homotopii $S^n$ względem dysku ma mapę do grupy zorientowanych sfer homotopii, podaną przy użyciu równoważności homotopii do transportu orientacji $S^n$do sfery homotopii, a następnie zapominając o równoważności homotopii. Ta mapa jest suriektywna, ponieważ każda sfera homotopii zawiera w sobie standardowy dysk. Najważniejszą rzeczą do pokazania iniekcyjności jest to, że aż do orientacji istnieje jedna klasa izotopów osadzonych dysków w naszej sferze homotopii.

Ten łańcuch uprzedzeń to pokazuje $\pi_n(Top/O)$ dla $n\geq 5$ jest $\Theta_n$, grupa zorientowanych sfer homotopii. Myślę, że jakakolwiek subtelność w tym dowodzie wynikałaby z wykazania, że ​​włączenie wygładzeń do wygładzeń homotopii jest iniekcyjne, więc przyjrzę się bliżej "izotopowi Aleksandra".