Sól w pojemniku - problem ODE

Question

Pracujemy z pojemnikiem na wodę, który może pomieścić do 1000 litrów. Zbiornik na wodę zawiera początkowo 500 litrów wody, w której rozpuszczono 20 kg soli. W pojemniku jest poruszenie, więc stężenie soli jest wszędzie takie samo.

Czysta woda wpływa do pojemnika z prędkością 4 l / min. Jednocześnie z pojemnika wypływa słona woda z prędkością 2 l / min. Powoduje to problemy, ponieważ pojemnik ma tylko 1000 litrów. Po chwili rozlega się alarm informujący o napełnionym pojemniku.

(a) O której godzinie włącza się alarm?

Równanie różniczkowe opisujące ten problem jest podane przez

$$y'=-\frac{2}{500+2t}\cdot y$$

Podaje się, że zawartość soli wynosi 10kg, gdy dzwoni alarm, tj $y(250)=10$. Gdy włączy się alarm, dopływ zmienia się tak, że słona woda płynie teraz z 35g soli na każdą. litrów w tempie 1 l / min. Wciąż wypływa 2 l na. minuta.

(b) Ile soli jest w pojemniku, gdy w pojemniku jest znowu 500 litrów?

---

Moja odpowiedź: Cóż (a) było dość łatwe, uzyskałem, że alarm zabrzmi po 250 minutach od tego czasu $500+2\cdot 250=1000$a potem zadzwoni alarm. Ale ostatnia część, czyli (b), nie jest dla mnie łatwa. Uważam, że muszę zrobić ODE z informacji, które właśnie otrzymałem, ale tutaj próbowałem wiele razy. Zauważ, że ten problem pochodzi z książki, w której było więcej pytań, po prostu wybrałem odpowiednią część. (b) jest również określone w książce jako „dobrowolne”. Zauważ, że to nie jest problem z pracą domową.

Answer 1

W części b)

ty masz $1000$ litr wody na początek, którą ma $10$ kg soli.

Objętość wody zmniejsza się w tempie 1 litra / min (1 litr wpływa i 2 litry wypływa co minutę). To zajmie$500$ minuty do zmniejszenia $1000$ litr do $500$ litr.

A więc objętość wody pozostająca w zbiorniku po pewnym czasie $t$ min $= 1000 - t$

Sól napływa w ilości $0.035$ kg / min.

Powiedz, że jest $y$ kg soli w danym czasie $t$ w $1000-t$ litr wody.

Wtedy w czasie $t$, sól wypływa w tempie $\frac{y}{1000-t} \times 2$ (tak jak $2$ wypływający litr na minutę)

A więc tempo zmian soli $\frac{dy}{dt} = 0.035 - \frac{2y}{1000-t}$

Powiedzmy $x = 1000 - t$ potem z podstawieniem,

$- \frac{dy}{dx} = 0.035 - \frac{2y}{x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x} - 0.035$ ...(ja)

Teraz, aby rozwiązać to równanie liniowe, musimy użyć współczynnika całkującego. Do weryfikacji użyłem WolframAlpha.

$\mu = e^{\int{-2/x \, dx}} = \frac{1}{x^2}$

Mnożenie obu stron przez $\mu$ w (i),

$\frac{1}{x^2} \frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x^3} = - \frac{0.035}{x^2} $

$\frac{1}{x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{d}{dx}(\frac{1}{x^2})y = - \frac{0.035}{x^2} $

$\int d(\frac{y}{x^2}) = - \int \frac{0.035}{x^2}dx $

$\int d(\frac{y}{x^2}) = - \int \frac{0.035}{x^2}dx $

$y = 0.035x + cx^2$

Zastępowanie z powrotem $x = 1000 - t$

$y = 35 - 0.035t + c(1000-t)^2$

W $t = 0$, jest $10$ kg soli.

$10 = 35 + c \times 1000^2$

Więc stała $c = -\frac{25}{1000^2}$

W $t = 500$,

Sól ogółem $y = 35 - 0.035 \times 500 - \frac{25}{1000^2} \times 500^2 = 11.25$ kg.