Sprawdź działanie ciągłe

Question

Pozwolić $f$ być funkcją zdefiniowaną w $[0, 6]$, ciągłe w $[0, 6]$ i jest dostarczany z trzeciej pochodnej w $]0, 6[.$Które z poniższych stwierdzeń jest fałszywe ?

$$\fbox{A}\quad f \text{ has no asymptotes; }$$ $$\fbox{B}\quad f \text{ may have no critical points; }$$ $$\fbox{C}\quad f \text{ has a relative maximum or has a minimum relative; }$$ $$\fbox{D}\quad f'' \text{ is continuous in } ]0; 6[;$$ $$\fbox{E}\quad \text{If } f'(5) = f''(5) = 0 \text{ and } f'''(5) = 7, \text{then } f \text{ has an inflection point with a horizontal tangent at } x = 5$$

Poniżej oryginalne pytanie w języku włoskim. Powyżej tłumaczenie.

---

Moja próba znalezienia poprawnej odpowiedzi. Plik$\fbox{A}$ jest prawdziwym bytem $f$ jest ciągły w $[0,6]$. Plik$\fbox{B}$ jest prawdziwe dla twierdzenia Weierstrassa: zauważ to $[0,6]$jest zamknięty zestaw. Jeśli myślę o wielomianu$\deg(p(x))=6$ i $\fbox{C}$dla mnie to prawda. Dla$\fbox{D}$ Myślałem, że jeśli $f$ i jest dostarczany z trzeciej pochodnej w $]0,6[$, prawie za $f''$ jest ciągły w $]0,6[$. Powiedziałbym, że$\fbox{E}$jest fałszywa , ale nie potrafię tego usprawiedliwić.

Pytam, czy moje rozumowanie jest poprawne, czy też są jakieś niezgodności.

Answer 1

Dla mnie C jest fałszywa, jeśli rozumieć jako względny ekstremum (lub lokalnego ekstremum) ekstremum w sąsiedztwie punktu w wnętrza z$[0,6]$. Rzeczywiście, tutaj jest kontrprzykład spełniający wszystkie hipotezy, który nie ma ani lokalnego maksimum, ani lokalnego minimum na$[0,6]$aczkolwiek ma maksimum i minimum: $$f(x)=\frac 76(x-5)^3.$$

Z drugiej strony, E jest prawdziwe, ponieważ jeśli $f'''(5)=7$, to jest pozytywne w małym sąsiedztwie $5$, mówić $I=(5-ε, 5+ε)$ (instrumenty pochodne spełniają właściwość wartości pośredniej), więc $f''$rośnie w tym przedziale. Dlatego jeśli$f''(5)=0$, mamy $f''(x)<0$ na $(5-ε,5)$ i $f''(x)>0$ na $(5, 5+ε)$więc to $f'$ ma lokalne minimum $I$, co odpowiada definicji punktu przegięcia.