Subtelność w problemie Brachistochrony

Question

Poniżej znajduje się konkretny przykład problemu brachistochrony, z którym po raz pierwszy spotkałem się w szkole średniej i czasami używałem go jako problemu hw w nauczaniu CM.

Cząstka zaczyna się od spoczynku u początku i jest zmuszana do upadku pod wpływem grawitacji wzdłuż ścieżki $y(x)$ który przechodzi przez punkt $x=5$, $y=-1$(w dowolnych jednostkach, na przykład w metrach). Przyjmiemy, że potencjał grawitacyjny jest liniowy,$V=mgz$.

a) Określ ścieżkę, która minimalizuje potrzebny czas. Zrób wykres tej ścieżki.

b) Czy istnieje inna ścieżka, która sprawia, że ​​czas jest nieruchomy? Jeśli tak, zrób wykres tej ścieżki i wyjaśnij, czy ta ścieżka jest minimum, maksimum czy punktem końcowym.

Rozwiązanie problemu brachistochrony jest oczywiście bardzo dobrze znane, więc to zadanie w rzeczywistości dotyczy znalezienia konkretnego cykloidy, który spełnia warunki brzegowe. Jak wskazuje część b, istnieje więcej niż jeden: standardowy cykloid i dwa cykloidy, które `` odbijają się ''.

Teraz jest jasne, że prosta cykloida jest absolutnym minimum, ponieważ czas przejścia jest proporcjonalny do wykreślonego kąta. Ale co z pozostałymi dwoma? Naiwnie powinny to być siodła, ale druga odmiana czynności funkcjonalnej jest ewidentnie pozytywna, co wskazuje, że są to lokalne minima. Ale to nie może być prawda, chyba że jest coś zabawnego w topologii przestrzeni ścieżek. Czy wyższe punkty siodełka cykloidów czy minima?

PS: Aby zobaczyć, że wyższych cykloidów nie można łatwo odrzucić jako rozwiązań, rozważ ten wykres składowych prędkości $(v_x,v_y)$ jako funkcja czasu dla drugiej cykloidy.

Odpowiednie składowe przyspieszenia to:

Oczywiście przyspieszenie (i siły przymusu) są idealnie płynne.

Answer 1

TL; DR: ścieżka zbudowana fragmentarycznie z więcej niż 1 cykloidy (każdy z możliwie inną energią$E$, patrz poniżej) iz guzkami na końcu $x$oś nie jest stacjonarna.

Szkicowany dowód:

1. Przypomnij sobie, że działaniem (= spędzonym czasem) problemu brachistochrony jest$$S~=~\int_0^a\! \mathrm{d}x~L,\qquad L~=~\sqrt{\frac{1+y^{\prime 2}}{y}},\qquad y~\geq~ 0,\tag{1}$$ z warunkami brzegowymi $y(0)=0$ i $y(a)=b$. (Tutaj$y$-oś jest skierowana w dół i ze względu na prostotę wybraliśmy takie jednostki czasu i przestrzeni $2g=1$.)

2. Fizycznie domagamy się ścieżki $x\mapsto y(x)$jest co najmniej ciągły. Matematycznie całka powinna być po prostu integrowalna Lebesgue'a. Aby być tak prostym, jak to tylko możliwe, ale również uwzględniać przykłady OP, osiągniemy wygodny kompromis i założymy, że jest to ścieżka$x\mapsto y(x)$jest różniczkowalna odcinkowo w sposób ciągły, chociaż pozwolimy na pochodną$y^{\prime}\equiv \frac{dy}{dx}$ stać się pojedynczym w punktach między kawałkami tak długo, jak całka pozostaje integrowalna Lebesgue'a.

3. Wynika z tego, że stacjonarna ścieżka z konieczności spełnia równanie Eulera-Lagrange'a (EL) we wnętrzu każdego elementu. Dodatkowe warunki mogą wystąpić w punktach między utworami.

4. Ponieważ lagrangian $L$ nie ma wyraźnego $x$-zależność odpowiednie pojęcie energii (w utworze) jest zachowane: $$E~=~ y^{\prime} \frac{\partial L}{\partial y^{\prime}}-L~\stackrel{(1)}{=}~-\frac{1}{\sqrt{y(1+y^{\prime 2})}}~<~0.\tag{2}$$

5. Rozwiązanie kawałkowe to cykloida: $$\begin{align} 2E^2x~=~&\theta-\sin\theta~\approx~\frac{\theta^3}{6},\cr 2E^2y~=~&1-\cos\theta~\approx~\frac{\theta^2}{2},\end{align}\tag{3}$$gdzie przybliżenie jest ważne blisko wierzchołka. Równanie wierzchołka staje się$$ y~\stackrel{(3)}{\propto}~ x^{2/3}.\tag{4}$$ W pobliżu wierzchołka cząstka wykonuje swobodny ruch opadania, który jest płynny w funkcji czasu $t$.

6. Pomysł polega teraz na obcięciu wierzchołka na pewnym poziomym poziomie $y=\epsilon\ll 1$, czyli w niektórych $x~\propto~ y^{3/2}~=~\epsilon^{3/2}$. (Dla uproszczenia rozważamy tylko prawą gałąź wierzchołka - lewa gałąź jest podobna.) Działanie guzka jest$$L~\stackrel{(1)+(2)}{=}~\frac{1}{|E|y}~\stackrel{(4)}{\propto}~ x^{-2/3}\qquad\Rightarrow\qquad S~\propto~x^{1/3} ~\propto~\epsilon^{1/2}.\tag{5}$$ Dla porównania, działanie ścieżki poziomej przebiega zgodnie z oczekiwaniami szybciej: $$L~\stackrel{(1)}{=}~\frac{1}{\sqrt{y}}~=~ \frac{1}{\sqrt{\epsilon}}\qquad\Rightarrow\qquad S~\propto~\frac{x}{\sqrt{\epsilon}} ~\stackrel{(4)}{\propto}~\epsilon.\tag{6}$$ To pokazuje, że możemy zmienić akcję na pierwszą kolejność w $\epsilon$, dlatego ścieżka nie jest stacjonarna. $\Box$