Testuj ciągłość za pomocą rzutów

Question

Gdyby $Y$ i $X_i$ to przestrzenie topologiczne i $\prod_{i\in I}X_i$ ma topologię produktu, jak mogę przetestować ciągłość mapy $f:Y\rightarrow \prod_{i\in I}X_i$ używając rzutów?

To pytanie dotyczy problemu, który zamieściłem tutaj: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{\mathbb{R}}: x\mapsto (e^{t\sin(x)})_{ t\in \mathbb{R}}$

k.stm rozwiązał ten problem przy użyciu topologii produktu. Mój problem polega na tym, że nie widzę związku między projekcjami a tym dowodem.

Umieszczam to tutaj jako pytanie ogólne, ponieważ chcę zbadać ogólne podejście do takich problemów.

Answer 1

Biorąc pod uwagę rodzinę $X$ zbiorów indeksowanych przez $I$ i rodzinę $\mathscr{T} \in \displaystyle\prod_{i \in I}\mathscr{Top}(X_i)$ topologii w każdym ze zbiorów $X_i$, oznaczmy przez $\displaystyle\bigotimes_{i \in I}\mathscr{T}_i$ bezpośrednia topologia produktu na produkcie kartezjańskim $\displaystyle\prod_{i \in I}X_i$. Gdyby$p_i \colon \displaystyle\prod_{i \in I}X_i \to X_i$ oznacza odwzorowanie kanoniczne, to wynika wprost z definicji dającej dowolną przestrzeń topologiczną $(Y, \mathscr{S})$ i mapę $f \colon Y \to \displaystyle\prod_{i \in I}X_i$ mamy równoważność: $$f \in \mathrm{Hom}_{\mathbf{Top}}\left((Y, \mathscr{S}), \left(\displaystyle\prod_{i \in I}X_i, \displaystyle\bigotimes_{i \in I}\mathscr{T}_i\right)\right) \Leftrightarrow (\forall i)\left(i \in I \Rightarrow p_i \circ f \in \mathrm{Hom}_{\mathbf{Top}}((Y, \mathscr{S}), (X_i, \mathscr{T}_i))\right),$$ co jest bardzo sztywnym i formalnym sposobem powiedzenia tego $f$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie kompozycje $p_i \circ f$ są ciągłe dla każdego $i \in I$.

W terminologii, której Bourbaki jest adeptem, bezpośrednia topologia produktu jest początkową strukturą indukowaną przez rodzinę przestrzeni$\left(X_i, \mathscr{T}_i\right)_{i \in I}$ na iloczyn kartezjański $\displaystyle\prod_{i \in I}X_i$ poprzez rodzinę projekcji kanonicznych.