Ucieknij z samolotu

Question

Pewnego niedzielnego poranka budzisz się, aby znaleźć się zupełnie sam na nieskończonym, płaskim samolocie. Nie pamiętam zbyt wiele o poprzedniej nocy, inne niż że może być wkurzony kreatora. Obok siebie znajdziesz paletę z niezliczonymi nieskończonymi kolorami oraz notatkę, która nakazuje Ci w ten sposób:

Musisz pomalować każdy punkt na tej płaszczyźnie, tak że nigdy nie będę w stanie znaleźć trójkąta z wierzchołkami o tym samym kolorze i racjonalnym obszarze.

Jeśli poradzisz sobie z tym zadaniem, kreator pozwoli ci odejść - niepowodzenie, a zostaniesz uwięziony na zawsze. Nie wątpisz w umiejętności czarodzieja, więc nie ma tu tanich sztuczek. Biorąc pod uwagę problem, bierzesz się do pracy - a po niezliczonej ilości czasu czarodziej stoi obok ciebie, podziwiając twoje dzieło.

Czy czarodziej cię uwolni?

---

EDYCJA: Aby wyeliminować odpowiedzi na myślenie lateralne w oparciu o sformułowanie pytania, oto formalne matematyczne stwierdzenie układanki:

Czy istnieje kolorystyka $\mathbb{R}^2$ takie, że niemożliwe jest znalezienie trójkąta z wierzchołkami o tym samym kolorze i wymiernej powierzchni?

Answer 1

Bardzo ciekawe super zadanie.

Na płaszczyźnie 2D dowolne trzy nieliniowe punkty tworzą trójkąt, więc używaj tylko 2 punktów każdego koloru. Ponieważ masz nieskończoną liczbę kolorów, nigdy nie zabraknie Ci kolorów. Jednak to nie uchroni nas przed śmiercią, ponieważ zadanie to zajęłoby niezliczoną ilość czasu, pozostawiając nas w samolocie. Musimy więc podejść do tego jak do super zadania. Pomaluj pierwszą kropkę w 1 minutę, drugą pomaluj o połowę, trzecią o połowę, itd. W ciągu zaledwie dwóch minut, bez względu na to, jak długo kreator będzie musiał to sprawdzić, uwolnisz się od samolot!

Edytować:

Powyższe rozwiązanie napotyka na problem polegający na tym, że zabraknie ci kolorów, ponieważ jest nieskończenie nieskończona liczba punktów $\mathbb{R}^2$i istnieje niezliczona liczba kolorów. Mogę podejść trochę bliżej, zwiększając kolory liczbowe. Zamiast myśleć o kolorach jako o dyskretnych plamach farby, które dał mi czarodziej, rozważę teraz długość fali światła, które odbija pigment (całkowicie pomijając sposób mieszania farby tutaj). Teraz na każdym etapie super zadania mieszaj farby tak, aby uzyskać nowy kolor (np. W kroku 1 używasz farby z$700nm$, w kroku 2 użyjesz farby $700.\bar01nm$itp.). Teraz masz nieskończenie nieskończoną liczbę kolorów lakieru. Jednak czuję, że płaszczyzna jest pełna nieskończonych dwuwymiarowych punktów$\mathbb{R}^2$, podczas gdy mam tylko farby z $\mathbb{R}>0$, więc nadal mam za mało kolorów.

Answer 2

Z pewnością jest to proste

Masz nieskończoną liczbę kolorów, więc każdego koloru używasz tylko raz. Nie określono, czy „punkty” są prawdziwymi punktami. Jeśli są prawdziwymi punktami na płaszczyźnie, to nie mają wymiaru, więc nie możesz ich pomalować. Nie można użyć nawet 1 cząsteczki farby.

lub

Jeśli poradzisz sobie z tym zadaniem, kreator pozwoli ci odejść - niepowodzenie, a zostaniesz uwięziony na zawsze.

Biorąc pod uwagę, że zadanie zajmie wieczność, jesteś uwięziony na zawsze, wykonując zadanie, żaden czarodziej nie uwolni cię.

lub

Malujesz nieskończenie długie, równoległe jednokolorowe linie proste. Nie będzie trójkątów z trzema wierzchołkami tego samego koloru.