Udowodnij równość rang

Question

$\newcommand{\rank}{\mathrm{rank}}$

Próbuję rozwiązać następujące ćwiczenie z algebry liniowej z podręcznika.

Pozwolić $P_1, P_2, \ldots, P_k, Q_1, Q_2, \ldots, Q_k$ być porządkiem $n$ macierze nad polem liczbowym $F$, i $P_iQ_j = Q_jP_i$, $\rank(P_i) = \rank(P_iQ_i), 1 \leq i, j \leq k$. Okazać się,\begin{align*} \rank(P_1P_2\cdots P_k) = \rank(P_1\cdots P_kQ_1\cdots Q_k). \end{align*}

Jak dotąd nie mam pojęcia. Chociaż warunek$\rank(P_i) = \rank(P_iQ_i)$ sugeruje $P_i = P_iQ_iR_i$ na jakieś zamówienie $n$ matryca $R_i$, Nie wiem, jak właściwie zastosować warunek przemienności.

Do sprawy $k = 2$wydaje się pomocne, aby spróbować to pokazać $\text{Im}(P_1P_2Q_1Q_2) \subset \text{Im}(P_1P_2)$. Więc wziąłem$x \in \text{Im}(P_1P_2)$, W związku z tym $x = P_1P_2y = P_1P_2Q_2R_2y$ dla niektórych $y \in F^n$. Potem utknąłem.

Answer 1

Udowodnimy to przez indukcję, opiszę szczegółowo przypadek podstawowy (wtedy jeśli masz trudności z etapem wprowadzenia, nie wahaj się poprosić o pomoc).

k = 2:

$rank(P_1P_2)=rank(P_2)-dim(KerP_1\cap ImmP_2)$ (patrz uwaga (*) na końcu)

$rank(P_1P_2Q_1Q_2)=rank(P_1Q_1P_2Q_2)=rank(P_2Q_2)-dim(KerP_1Q_1\cap ImmP_2Q_2)$

gdzie użyłem warunku przemienności dla pierwszego przejścia i (*) dla drugiego.

Według warunku: $rank(P_i)=rank(P_iQ_i)$ wnioskujemy, że: $rank(P_2)=rank(P_2Q_2)$. Musimy więc wykazać, że:$dim(KerP_1\cap ImmP_2)=dim(KerP_1Q_1\cap ImmP_2Q_2)$.

Łatwo zauważyć, że: $KerP_1\subseteq KerQ_1P_1=KerP_1Q_1$ i: $ImmP_2Q_2\subseteq ImmP_2$. Ale my też to wiemy$dim(KerP_1)=dim(KerP_1Q_1)$ (ponieważ dwie macierze mają tę samą rangę, wynika to z twierdzenia o rangi-nieważności) i $dim(ImmP_2Q_2)=dim(ImmP_2).$ Możemy więc stwierdzić, że: $KerP_1=KerP_1Q_1$, $ImmP_2Q_2=ImmP_2$.

Biorąc pod uwagę, że $KerP_1\cap ImmP_2=KerP_1Q_1\cap ImmP_2Q_2$dochodzimy do wniosku, że mają ten sam wymiar.

(*) $General$ $fact$: Dany $A$ (macierz wielkości $m\times n$) i $B$ (wielkościowy $n\times k$) mamy to: $rank(AB)=rank(B)-dim(KerA\cap ImmB)$

$Proof$: Możemy interpretować macierze jako mapy liniowe. Mamy:$A:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^m$, $A:\mathbb{K}^k\to\mathbb{K}^n$, $AB:\mathbb{K}^k\to\mathbb{K}^m$.

$Imm(AB)=A(ImmB)=Imm(A_{|ImmB})$ i $Ker(AB)=Ker(A_{|ImmB})=KerA\cap ImmB$.

W związku z tym: $rank(B)=dim(ImmA_{|ImmB})+dim(KerA_{|ImmB})=dim(ImmAB)+dim(KerA\cap ImmB)$.