VECM reprezentujący system I (0)?

Question

Mam na myśli Johansena (1991), w którym rozważa on$p$-wymiarowy autoregresyjny proces porządkowania $k$

$$ X_t = \sum_{i=1}^{k} \Pi_i X_{t-i} \ + \ \epsilon_t \tag{1}\label{1} $$

napisane w postaci wektorowej korekcji błędów

$$ \Delta X_t = \Pi X_{t-1} \ + \ \sum_{i=1}^{k-1} \Gamma_i \Delta X_{t-i} \ + \ \epsilon_t \tag{2}\label{2} $$

gdzie $\Pi = \sum_{i=1}^k \Pi_i \ - \ I$ i $\Gamma_i = - \sum_{j=i+1}^k \Pi_j$.

Stwierdza bez odniesienia ani dowodu, że jeśli $\ p\times p \ $ matryca $\Pi$ ma wtedy pełną rangę $X_t$ jest procesem stacjonarnym.

Czy ktoś może podać mi referencje lub jest w stanie to udowodnić?

Answer 1

Tak, podam referencje i szybką intuicję. W Lutkepohls "Nowe wprowadzenie do analizy wielu szeregów czasowych" (2005, s. 248) wyjaśnia, że ​​pełny ranking$\Pi$ w równaniu (2) faktycznie implikuje to $X$jest nieruchomy. Ranga macierzy jest bezpośrednio związana z jej odwracalnością, macierze pełnego rzędu są odwracalne, a macierze niższego rzędu są osobliwe. Jest to oczywiste, jeśli myślisz o wyznaczniku jako o iloczynie elementów przekątnych zredukowanej macierzy, gdy nie jest to pełny rząd, co najmniej jeden element w tym iloczynu wynosi zero, co oznacza zero. Odwracalność$\Pi$ma do czynienia ze stabilnością w$\Pi$, co z kolei implikuje stacjonarność.