Wartość całki

Question

Muszę zweryfikować wartość następującej całki $$ 4n(n-1)\int_0^1 \frac{1}{8t^3}\left[\frac{(2t-t^2)^{n+1}}{(n+1)}-\frac{t^{2n+2}}{n+1}-t^4\{\frac{(2t-t^2)^{n-1}}{n-1}-\frac{t^{2n-2}}{n-1} \} \right] dt.$$ Integrand (współczynnik $4n(n-1)$) jest plikiem PDF pewnej zmiennej losowej dla $n\geq 3$i dlatego spodziewam się, że będzie to 1. Gdyby ktoś mógł łaskawie wstawić to do jakiegoś systemu algebry komputerowej, takiego jak MATHEMATICA, byłbym bardzo zobowiązany. Nie mam dostępu do żadnego oprogramowania CAS.

PS: - Nie znam żadnego wolnego oprogramowania CAS. Jeśli jest ktoś, proszę o udostępnienie

Answer 1

Całkę można przepisać jako \begin{align*} I&=\frac{n(n-1)}{2}\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}-t^{2n-1}}{n+1}-\frac{t^n(2-t)^{n-1}-t^{2n-1}}{n-1}\,dt\\[6pt] &=\frac{1}{2n+2}+\frac{n(n-1)}{2}\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}}{n+1}-\frac{t^n(2-t)^{n-1}}{n-1}\,dt. \end{align*} Otrzymujemy całkowanie przez części $$\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}}{n+1}\,dt=\frac{1}{n^2-1}+\int_0^1\frac{t^{n-1}(2-t)^n}{n-1}\,dt.$$ W związku z tym, \begin{align*} I&=\frac{1}{2}+\frac{n}{2}\int_0^1t^{n-1}(2-t)^n-t^n(2-t)^{n-1}\,dt\\[6pt] &=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\int_0^1(t^n(2-t)^n)'\,dt=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1. \end{align*}

PS Możesz używać SageMath i WolframAlpha do obliczeń symbolicznych. Oba są bezpłatne.

Answer 2

Wygląda na to, że twoje przypuszczenie jest prawdziwe. Wynik podaje Mathematica$$ (1 + 4^n (-1 + n) n \mbox{Beta} [1/2, -1 + n, 2 + n] - 4^n n (1 + n) \mbox{Beta} [1/2, 1 + n, n])/(2 (1 + n)) $$ pod względem niekompletnej funkcji Beta i wstawiania losowych liczb całkowitych $\geq 3$ zawsze daje 1 (nie udało mi się zmusić Mathematica do wyplucia tego jako ogólnego wyniku arbitralnego $n$).

Answer 3

Możesz użyć CoCalc . Na przykład wpisz integral(x^2,x)i pobierz1/3*x^3

Pozwala również na parametry symboliczne.

Wejście:

f(x,n)=x^2+n

integral(f(x,n),x)

Wynik:

1/3*x^3+n*x