Wbudowane wstążki i regularna izotopia

Question

Czytam artykuł Kauffmana „Niezmiennik regularnej izotopii” z 1990 roku o węzłach, które są izotopowe tylko w ruchach Reidemeistera typu II i III, co jest znane jako regularna izotop. Jego artykuł twierdzi, że istnieje związek między regularną izotopią a osadzonymi pasmami ($S^1 \times [0,1]$) w $S^3$. Odnosi się do podręcznika Burde's Knots, ale nie mogę znaleźć żadnej wzmianki o regularnej izotopii, ponieważ wydaje się, że Kauffman ukuł to zdanie w artykule po napisaniu tekstu Burde'a.

Myślę, że regularna izotopia węzłów odpowiada osadzonemu paskowi. Martwię się jednak, że może istnieć patologia, którą przeoczam. Czy ktoś ma dokładne określenie związku?

Answer 1

Z dowolnego schematu węzłów można uzyskać węzeł w ramce, biorąc „obramowanie tablicy”. Istotą regularnej izotopii diagramów węzłów jest to, że zachowuje ona obramowanie tablicy. Ponieważ obramowane węzły i osadzone pasma to to samo, regularna izotopia również zachowa osadzone pasmo odpowiadające obramowaniu tablicy na schemacie węzłów.

Zakładam, że jest to omówione bardziej szczegółowo w Burde, być może w kontekście węzłów w ramach. Możliwe jest również, że Burde w ogóle nie omawia węzłów w ramkach, ponieważ myślę, że ludzie znacznie bardziej zainteresowali się nimi po odkryciu wielomianu Jonesa / TQFT Cherna-Simonsa. I zgadzam się: myślę, że Kauffman ukuł termin „zwykła izotopia”, więc prawdopodobnie nie jest używany w Burde.

Answer 2

To bardziej komentarz niż odpowiedź, ale mam nadzieję, że będzie pomocny. Istnieje znacznie starsze i lepiej zbadane pojęcie regularnej homotopii . Pozwolić$X$ i $Y$ bądźcie gładkimi rozmaitościami i pozwólcie $f,g\colon X \rightarrow Y$być zanurzeniami. Następnie$f$ i $g$ są regularnie homotopiczne, jeśli są homotopijne w wyniku zanurzenia.

Skoncentrujmy się na regularnych klasach homotopii immersji $S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$. Takie zanurzenie jest tym, co otrzymujesz z diagramu węzłów, zapominając o skrzyżowaniach powyżej / poniżej. Nietrudno to zobaczyć, jeśli$f,g\colon S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$ są to zatem regularnie zanurzenia homotopowe z poprzecznymi samoczynnymi przecięciami $f$ można przekształcić w $g$przez sekwencję oczywistych analogów ruchów Reidemeistera II / III. Nie możesz jednak wykonać analogu Reidemeistera, którego poruszam, ponieważ w momencie, gdy zaciągasz się mocno, pochodna musi zniknąć, więc nie jest to zwykła homotopia.

Domyślam się, że właśnie o tym myślał Kauffman. Nawiasem mówiąc, regularne klasy homotopii immersji$S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$można całkowicie sklasyfikować. Biorąc pochodną takiego zanurzenia i przeskalowania, aby pochodna miała długość jednostkową, otrzymasz powiązaną mapę$S^1 \rightarrow S^1$. Stopień tej mapy nazywany jest stopniem zanurzenia, a twierdzenie Whitneya-Grausteina mówi, że stopień ten jest niezmiennikiem całkowitym. To twierdzenie jest wczesnym prekursorem twierdzenia o zanurzeniu Hirscha-Smale'a, które w szczególnym przypadku zanurzenia$S^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ zawiera słynne „wywinięcia kuli” Smale'a, które odwracają kulę na lewą stronę.

Answer 3

Schemat jest rysowany na płaszczyźnie. Ogranicz do węzłów (nie łączy). Zorientuj krzywą i skojarz ją z każdym skrzyżowaniem a (+/-) za pomocą reguły prawej ręki: dłoń wzdłuż przecięcia z różowym wskazującym w kierunku orientacji zwiń do + podcięcia. Kciuk w górę = + znak. Suma wszystkich skrzyżowań. To jest wić. Writhe determinuje samosprzęgnięcie się węzła z odepchnięciem. Rysuj \ infty +, \ infty- i 0. \ infty + ma łuk z nachyleniem + nachylenie jako nadłukiem. Narysuj krzywą odepchnięcia na płaszczyźnie i oblicz liczbę powiązań <- tricky calc, najlepiej wykonać za pomocą ruchów RI do utworzenia łącza Hopf. Węzeł i odpychanie ograniczają pierścień. Jeśli liczba samosprzęgnięcia węzła wynosi 0, wówczas pierścień rozciąga się do powierzchni Seiferta. Odepchnięcie określa preferowaną długość geograficzną. Ogólnie jednak krzywa w ramce z czarną tablicą łączy się samoczynnie = wije się. Za pomocą krzywej \ alpha - \ gamma możesz to narysować na 4 sposoby. 2 ma 0 wije się, 1 ma +2, a drugi -2. Te, które mają 0 skrętów, są zwykle homotopijne z węzłami. Pozostałe 2 wymagają ruchów typu I. Gdzieś w Kauffman zobaczysz sztuczkę Whitneya. Krzywa alfa-gamma ma 1 załamanie na zewnątrz i 1 załamanie do wewnątrz. Istnieją krzywe alfa-alfa i krzywe gamma-gamma: odpowiednio dwie lub dwie. W obu przypadkach skręt można ułożyć jak przewód telefoniczny lub można go anulować. Sprawy anulowania są trudne. Tam diagi są na S ^ 2. Eg bigon ograniczony w przypadku gamma gamma jest na zewnątrz. Dlatego musisz wykonać obramowaną izotopię w S ^ 3, a nie w R ^ 3. [! [0 i - / + krzywe nieskończoności