Widmo operatora Jacobiego w $l_2$
Chcę znaleźć widmo (z klasyfikacją punktową) operatora $A$ w $l_2$działając na zasadach standartowych $\{e_n\}$ w następujący sposób $$ Ae_1 = ae_1 + be_2, \ Ae_n = be_{n-1} + ae_n + be_{n+1}, \ n\geq 2 $$ Oczywiście możemy to założyć $b\neq 0$, bo z drugiej strony problem jest prosty.
Moje próby. Przede wszystkim próbowałem znaleźć spektrum punktowe$\sigma_p(A) =\{\lambda \in \mathbb{C}: \ker(A - \lambda I) \neq \{0\} \}$, gdzie $I$jest operatorem tożsamości. Pozwolić$x = (x_1,x_2, \ldots)\in l_2$. Otrzymujemy równania postaci$$ Ax = \lambda x \Leftrightarrow \begin{cases} x_2 = \frac{(\lambda -a)x_1}{b} \\ x_3 = \frac{(\lambda -a)x_2}{b}-x_1 \\ x_4 = \frac{(\lambda -a)x_3}{b}-x_2 \\ \ldots \\ x_n = \frac{(\lambda -a)x_n-1}{b}-x_{n-2} \\ \ldots \end{cases} $$ Możemy również otrzymać równania dla $x_n$ w formie $$ x_n = p_n\left(\frac{\lambda -a}{b}\right)x_1 $$ gdzie $p_n(x)$ jest wielomianem stopnia $n-1$. Ale forma wielomianów pozostaje niejasna. Również ta sekwencja$x$ powinien należeć do $l_2$, to jest $$ \sum_{n\geq 1}|x_n|^2 \leq \infty $$ Oczywiste jest, że dla $\lambda = a$ możemy skonstruować taką sekwencję, więc $$ a \in \sigma_p(A) $$Ale co możemy potem powiedzieć? Odkryłem również, że ten operator ma następujące właściwości$$ A^* = \overline{A} $$ w szczególności jest to normalny operator.
Odpowiedzi
Pozwolić $S$ być właściwym operatorem zmiany $\ell^2$ podane przez $S(e_n)=e_{n+1}$. Obserwując to$$ A=aI+b(S+S^*), $$ wystarczy obliczyć widmo $S+S^*$ ponieważ wtedy to ma $$ \sigma (A) = a + b\sigma (S+S^*), $$przez twierdzenie o mapowaniu widmowym. Klasyfikacja elementów widmowych będzie również następować, ponieważ klasa o dowolnej wartości widmowej$\lambda \in \sigma (S+S^*)$ będzie taka sama jak klasa $a+b\lambda $, jako wartość widmowa $A$.
Obserwując to $S+S^*$ jest operatorem samosprzężonym z normą nie większą niż $2$, widzimy to $\sigma (S+S^*)\subseteq [-2, 2]$.
Mówiąc o wartościach własnych, załóżmy, że $\lambda $ leży w spektrum punktowym $S+S^*$, i pozwól $x=(x_n)_{n=1}^\infty $być wektorem własnym. Następnie$x$ spełnia równanie różnicy $$ x_{n+1}+x_{n-1} = \lambda x_n, $$ lub równoważnie $$ x_{n+2} - \lambda x_{n+1} +x_{n} = 0, $$ którego charakterystycznym wielomianem jest $$ z^2-\lambda z+1 = 0. $$ Tak więc charakterystyczne są korzenie $$ z={\lambda \pm \sqrt{\lambda ^2-4}\over 2 } $$ $$ ={\lambda \pm i\sqrt{4-\lambda ^2}\over 2 }. $$ Przy założeniu, że $\lambda \in [-2, 2]$widzimy, że charakterystyczne pierwiastki mają wartość bezwzględną 1, a więc rozwiązania $x_n$ nie zbiegają się do zera i dlatego nie mogą należeć do $\ell^2$. Innymi słowy, nie ma wartości własnych i stąd widmo punktowe$S+S^*$ jest pusty.
Od $S+S^*$ jest samosprzężony, wynika z tego, że jego widmo jest wtedy takie samo jak widmo ciągłe.
Zamknięta * -algebra $\mathcal T$ operatorów na $\ell^2$ wygenerowane przez $S$nazywa się algebrą Toeplitza. Jak powszechnie wiadomo$\mathcal T$ zawiera algebrę $\mathcal K$ utworzony przez wszystkie operatory zwarte i że iloraz $\mathcal T/\mathcal K$ jest izomorficzny do $C(S^1)$, a mianowicie algebra wszystkich ciągłych, zespolonych funkcji o wartościach na okręgu jednostkowym $S^1$.
Obraz $S$ pod mapą ilorazów $$ \pi :\mathcal T \to \mathcal T/\mathcal K = C(S^1) $$ jest znany jako funkcja tożsamości $$ f(z)=z,\quad \forall z\in S^1, $$ więc obraz $S+S^*$ jest funkcją $$ g(z) = f(z)+\overline{f(z)} = 2\Re(z). $$
Wnioskujemy, ponieważ homomorfizmy zmniejszają widma $$ \sigma (S+S^*) \supseteq \sigma (\pi (S+S^*)) = \sigma (g) = \text{Range}(g)=[-2,2], $$ więc w końcu otrzymujemy $$ \sigma (S+S^*) = \sigma _c(S+S^*) = [-2,2], $$ skąd $$ \sigma (A) = \sigma _c(A) = [a-2b,a+2b], $$
EDYCJA : Oto podstawowy dowód, nie używając algebry Toeplitza$[-2, 2]\subseteq \sigma (S+S^*)$.
Przypomnij sobie, że wyszukiwanie wartości własnych dla $S+S^*$ prowadzi nas do rozważenia problemu wartości początkowej $$ \left\{ \matrix{x_{n+2} - \lambda x_{n+1} +x_{n} = 0, \cr x_2 = \lambda x_1, } \right. \tag 1 $$ którego charakterystycznym wielomianem jest $$ z^2-\lambda z+1 = 0. $$ Zakładając, że $\lambda \in [-2, 2]$, charakterystyczne pierwiastki to dwie sprzężone liczby zespolone $$ z ={\lambda \pm i\sqrt{4-\lambda ^2}\over 2 }, $$ z których oba mają wartość bezwzględną $1$, a zatem może być wyrażony jako $z=e^{\pm i\theta }$, z $\theta \in [0,\pi ]$.
Zgodnie z wpisem na Wikipedii dotyczącym „Równania różnicy liniowej” (https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_difference_equation), w sekcji „Zamiana rozwiązania złożonego na postać trygonometryczną”, rozwiązania mają postać $$ x_n = K\cos(n\theta+\psi ), %{2{\sqrt {\gamma ^{2}+\delta ^{2}}}\cos(n\theta+\psi )}, $$ gdzie $K$ i $\psi $ są stałymi.
Naprawianie dowolnego niezerowego rozwiązania $x = (x_n)_n$zauważ, że kiedy $\theta $ jest racjonalną wielokrotnością $2\pi $, the $x_n$są okresowe. W przeciwnym razie$x_n$opisują gęsty zbiór w pewnym symetrycznym przedziale. W każdym razie$x_n$ nie zbiegają się w szczególności do zera $$ \sum_{n=1}^\infty |x_n|^2 = \infty , $$ więc $x$ nie należy do $\ell ^2$. Nawiasem mówiąc, dlatego$S+S^*$nie przyznaje żadnych wartości własnych. Niemniej jednak istnienie niezerowych rozwiązań dla (1) będzie naszym głównym narzędziem do pokazania, że każdy$\lambda $ w $[-2,2]$ należy do spektrum $S+S^*$.
Aby to udowodnić, napraw dowolne pliki $\lambda \in [-2, 2]$i dowolne niezerowe rozwiązanie $x = (x_n)_n$do (1). Dla każdego$k\geq 1$, pozwolić $$ x^k = (x_1,x_2,\ldots ,x_k,0,0\ldots ), $$ pamiętając o tym $$ \lim_{k\to \infty }\|x^k\|=\infty . \tag 2 $$ Mamy to $$ (S+S^*)(x^k)-\lambda x^k = $$ $$ \matrix{ =&&(&0,& x_1,&x_2,&\ldots ,&x_{k-2},&x_{k-1},&x_k,&0,&\ldots &)\cr &+&(&x_2,&x_3,&x_4,&\ldots ,&x_k,&0,&0,&0,&\ldots &) \cr &-&(&\lambda x_1,&\lambda x_2,&\lambda x_3,&\ldots ,&\lambda x_{k-1},&\lambda x_k,&0,&0,&\ldots &)& =\cr =&&(&0, &0, &0, &\ldots , &0, &x_{k-1}-\lambda x_k, &x_k, &0,&\ldots &).&}. $$ Obserwując to $|x_n|\leq K$, dla każdego $n$, wtedy to widzimy $$ \|(S+S^*)(x^k)-\lambda x^k\| \leq |x_{k-1}| + |\lambda x_k| + |x_k| \leq 2K+|\lambda |K. $$ Następnie wywnioskujemy to z (2) $S+S^*-\lambda I$ wysyła dowolnie duże wektory ( $x^k$) do wektorów o ograniczonym rozmiarze, więc to pokazuje $S+S^*-\lambda I$ nie jest odwracalna i stąd to $\lambda \in \sigma (S+S^*)$.