Widmo operatora samosprzężonego i miary spektralne

Question

Pozwolić $T$ być operatorem samosprzężonym w przestrzeni Hilberta $\mathcal{H}$, z widmem $\sigma(T)$. Dla każdego$x,y\in \mathcal{H}$oznaczać $\mu_{xy}$ miara widmowa $T$ z szacunkiem do $x$ i $y$, to jest wyjątkowa miara Borela $\sigma(T)$ takie że

$$ \langle x,f(T)y\rangle = \int_{\sigma(T)} f(\lambda)d \mu_{xy}(\lambda) \quad \forall f\in \mathcal{C}(\sigma(T),\mathbb{C}).$$

Wtedy można to udowodnić $$ \overline{\bigcup_{x,y\in \mathcal{H}} \text{Supp}(\mu_{xy})} = \sigma(T). $$

Pozwól teraz $\{e_j\}_{j\in J}$ być bazą ortonormalną $\mathcal{H}$. Wtedy łatwo to zobaczyć$\mu_{e_i e_i}\ge 0$ dla wszystkich $i$ i to $\mu_{e_i e_j}(\sigma(T))$ równa się 1 jeśli $i=j$ i 0 w innym przypadku.

Od $\{e_j\}_{j\in J}$ jest bazą ortonormalną dla $\mathcal{H}$, Chciałem spróbować udowodnić, że można wyzdrowieć $\sigma(T)$ ze wsparcia środków $\{\mu_{e_i e_i}\}_i$. Byłoby to proste, gdyby środki$\mu_{e_i e_j}$wszystkie miały być pozytywne, jednak nie rozumiem, dlaczego tak się dzieje. Moje pytanie brzmi: czy to prawda

$$ \overline{\bigcup_{j\in J} \text{Supp}(\mu_{e_j e_j})} = \sigma(T)? $$

Answer 1

Tak, to prawda.

Wolę pracować z pozytywnymi środkami, więc zajmuję się tylko $x=y$ (the $\mu_{x,y}$mieć uzasadnienie, aby być pozytywnym w przeciwnym razie). Nie jest to problematyczne, jak widmo$\sigma(T)$ jest również zamknięciem $\cup_x \mathrm{Supp}(\mu_{x,x})$. Musimy więc pokazać, że wsparcie$\mu_{x,x}$ jest zawarta w zamknięciu $\cup_i \mathrm{Supp}(\mu_{e_i,e_i})$.

Jeśli $x = \sum_i x_i e_i$ należy do liniowej rozpiętości $e_i$możesz pisać $\mu_{x,x} = \sum_i x_i \overline{x_j} \mu_{e_i,e_j}$. Więc jeśli dla$\varepsilon = (\varepsilon_i)_i \in \{-1,1\}^J$ oznaczamy $x(\varepsilon)= \sum_i \varepsilon_i x_i e_i$, a następnie średnia $\mu_{x(\varepsilon),x(\varepsilon)}$ nad $\{-1,1\}^J$ jest $\sum_i |x_i|^2 \mu_{e_i,e_i}$. To pokazuje, że wsparcie$\mu_{x,x}$ jest zawarte we wsparciu $\sum_i |x_i|^2 \mu_{e_i,e_i}$, to jest w związku $\cup_i \mathrm{Supp}(\mu_{e_i,e_i})$. Przybliżając dowolny$x$ przez sekwencję wektorów w liniowej rozpiętości $e_i$Otrzymasz wynik.