$|x|^{3/2}$ mocno wypukłe?

Question

$$f(x) = |x|^{3/2}, x \in \mathbb{R}$$ Jeśli weźmiesz drugą pochodną, ​​którą otrzymasz $$ f''(x) = \frac{3}{4\sqrt{|x|}}$$ Jeśli spełniasz wymaganie, że $f$ jest mocno wypukły, gdy $$f''(x) \geq m \gt 0$$ Następnie $f$ jest mocno wypukła.

Jeśli jednak spełnisz wymóg, że $f$ jest mocno wypukły, gdy

$$g(x)=f(x)−\frac{m}{2} ||x||^2$$ jest wypukły, $∀x$ a niektóre $m>0$ $$g(x) = |x|^{3/2} - \frac{m}{2} ||x||^2$$ $g$ wyraźnie nie jest wypukła od tego czasu $\frac{d^2}{dx^2}\frac{m}{2}||x||^2 > \frac{d^2}{dx^2}|x|^{3/2}$ wystarczająco duże $x$.

Proszę, daj mi znać, gdzie jest mój błąd!

Dzięki

Answer 1

To prawda, że $f''>0$ gdzie jest zdefiniowane i faktycznie $f$ jest nadal wypukła w przedziale zawierającym $0$ nawet jeśli $f''(0)$nie jest tak naprawdę zdefiniowana. (W nieco luźnym sensie można powiedzieć$f''(0)=+\infty$.)

Jednak pierwszy wymóg, o którym wspomniałeś, w rzeczywistości nie jest spełniony, ponieważ nie ma jednej liczby$m>0$ takie że $f'' \geq m$ wszędzie od $f''$spada do zera w nieskończoności. A zatem$f$ nie jest mocno wypukła, niemniej jednak jest ściśle wypukła.