Zbiega się do innego limitu

Question

Czy istnieje przestrzeń metryczna $(\mathbb{R}, d)$ takie, że sekwencja $\{\frac{1}{n}\}$ zbiega się do $3?$

Oto odpowiedź Sekwencja zbiegająca się w różnych granicach

Próbowałem tego: niech $A=\{\frac{1}{n}: n\in \mathbb{N}\}, B=3+A$. Niech też

$f(x)= \begin{array}{cc} \{ & \begin{array}{cc} x & x\notin A\cup B \\ x+3 & x\in A \\ x-3 & x\in B \end{array} \end{array} $

i $d(x,y)=|f(x)-f(y)|$. Następnie sekwencja zbiega się do 3

Answer 1

Tak, to udana konstrukcja!

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli $(M,\delta)$ to dowolna przestrzeń metryczna i $f\colon \Bbb R\to M$ jest więc jakąkolwiek funkcją iniekcyjną $d(x,y)=\delta(f(x),f(y))$ definiuje metrykę na $\Bbb R$, nazywany „wycofaniem” programu $\delta$ do $\Bbb R$. (Chodzi o to, że wystarczy zmierzyć odległości „tutaj”, sprawdzając, jakie odległości obrazów znajdują się „tam”.) Twoja konstrukcja jest szczególnym przypadkiem tego, z$M =\Bbb R$ i $\delta$ jest zwykłym wskaźnikiem $\Bbb R$.

(Rzeczywiście, wycofania są definiowane dla każdego zestawu, nie tylko $\Bbb R$.)