Gizmodo Monday Puzzle: como resolver um hat-trick diabólico

Tem sido uma delícia derreter seus cérebros todas as semanas, mas a solução de hoje será a última parte do Gizmodo Monday Puzzle . Obrigado a todos que comentaram, enviaram e-mails ou ficaram intrigados em silêncio. Como não posso deixar vocês sem nada para resolver, confira alguns quebra-cabeças que fiz recentemente para o boletim informativo Morning Brew:

• Uma mini palavras cruzadas não convencional 
• Palavras cruzadas em tamanho real com um tema complicado 
• Um novo quebra-cabeça de quebra de código chamado Decipher

Também escrevo uma série sobre curiosidades matemáticas para a Scientific American, onde pego minhas ideias e histórias alucinantes favoritas da matemática e as apresento para um público que não é da matemática. Se você gostou de algum dos meus preâmbulos aqui, prometo muita intriga por lá.

Mantenha contato comigo no X @JackPMurtagh enquanto continuo tentando fazer a Internet coçar a cabeça.

Obrigado pela diversão,
Jack

Solução para o quebra-cabeça nº 48: Hat Trick

Você sobreviveu aos pesadelos distópicos da semana passada ? Um agradecimento a bbe por acertar o primeiro quebra-cabeça e a Gary Abramson por fornecer uma solução impressionantemente concisa para o segundo quebra-cabeça.

1. No primeiro quebra-cabeça, o grupo pode garantir que todas as pessoas, exceto uma, sobreviverão. A pessoa que está atrás não tem informações sobre a cor do chapéu. Então, em vez disso, eles usarão seu único palpite para comunicar informações suficientes para que as nove pessoas restantes possam deduzir com certeza a cor do seu próprio chapéu.

A pessoa que está atrás contará o número de chapéus vermelhos que vê. Se for um número ímpar, gritarão “vermelho” e se for um número par, gritarão “azul”. Agora, como a próxima pessoa da fila pode deduzir a cor do seu próprio chapéu? Eles veem oito chapéus. Suponha que eles contem um número ímpar de vermelhos à sua frente; eles sabem que a pessoa atrás deles viu um número par de vermelhos (porque essa pessoa gritou “azul”). Isso é informação suficiente para deduzir que o chapéu deve ser vermelho para que o número total de vermelhos seja par. A próxima pessoa também sabe se a pessoa atrás dela viu um número par ou ímpar de chapéus vermelhos e pode fazer as mesmas deduções para si mesma.

2. Para o segundo quebra-cabeça, apresentaremos uma estratégia que garante que todo o grupo sobreviva, a menos que todos os 10 chapéus sejam vermelhos. O grupo só precisa de uma pessoa para adivinhar corretamente, e um palpite errado automaticamente mata todos eles, então, uma vez que uma pessoa adivinha uma cor (se recusa a passar), todas as pessoas subsequentes passarão. O objetivo é que o chapéu azul mais próximo do início da fila adivinhe “azul” e que todos os outros passem. Para isso, todos passarão, a menos que vejam apenas chapéus vermelhos à sua frente (ou se alguém atrás deles já tiver adivinhado).

Para ver por que isso funciona, observe que a pessoa no final da fila passará, a menos que veja nove chapéus vermelhos; nesse caso, ela adivinhará o azul. Se disserem azul, todos os outros passam e o grupo vence, a menos que todos os dez chapéus sejam vermelhos. Se a pessoa que está atrás passa, significa que viu um chapéu azul à sua frente. Se a penúltima pessoa vir oito vermelhos à sua frente, ela sabe que deve ser o chapéu azul e, portanto, adivinha o azul. Caso contrário, eles passam. Todos passarão até que alguma pessoa na frente da fila veja apenas chapéus vermelhos na frente deles (ou nenhum chapéu no caso da frente da fila). A primeira pessoa nesta situação adivinha azul.

A probabilidade de todos os 10 chapéus serem vermelhos é 1/1.024, então o grupo vence com probabilidade 1.023/1.024.