В мега-бестселлере детективного триллера Дэна Брауна «Код да Винчи» 2003 года герой книги Роберт Лэнгдон и криптограф Софи Неве выражают скептицизм по поводу ценности «религиозных верующих, живущих на веры, которые включают в себя чудеса. Похоже, их реальность ложна ", - усмехается она.
Лэнгдон смеется и говорит, что эти убеждения не более ложны, чем убеждения математического криптографа, который верит в воображаемое число «i», потому что оно помогает ей взламывать коды ».
Для тех из нас, кто не разбирается в математике , шутка Лэнгдона немного озадачила. О чем, черт возьми, он говорит, когда говорит, что число мнимое? Как такое могло быть?
Однако оказывается, что мнимое число - по сути, число, возведение которого в квадрат дает отрицательное число - на самом деле является предметом математики, впервые обнаруженным еще в 1400-х и 1500-х годах как способ решения некоторых сбивающих с толку уравнений. Первоначально они рассматривались как своего рода кабинетный трюк, но спустя столетия они стали рассматриваться как инструмент для комплексного осмысления мира, и сегодня они полезны в самых разных областях, от электротехники до квантовой механики.
«Мы изобрели мнимые числа по тем же причинам, по которым изобрели отрицательные числа», - объясняет Кристофер Мур . Он физик в Институте Санта-Фе , независимом исследовательском учреждении в Нью-Мексико, и соавтор со Стефаном Мертенсом книги 2011 года « Природа вычислений ».
«Начните с обычной арифметики, - продолжает Мур. «Что такое два минус семь? Если вы никогда не слышали об отрицательных числах, это не имеет смысла. Нет ответа. У вас не может быть отрицательных пяти яблок, верно? Но подумайте об этом так. Вы могли бы мне быть должны. пять яблок или пять долларов. Как только люди начали вести бухгалтерию и вести бухгалтерию, нам понадобилась эта концепция ». Точно так же сегодня мы все знакомы с идеей, что если мы выписываем большие чеки для оплаты вещей, но не имеем достаточно денег для их покрытия, у нас может быть отрицательный баланс на наших банковских счетах.
Творческое мышление имеет большое значение
Еще один способ взглянуть на отрицательные числа - и он пригодится позже - это подумать о прогулке по городскому району, - говорит Мур. Если вы сделаете неверный поворот и в противоположном направлении от нашего пункта назначения - скажем, в пяти кварталах к югу, когда вам следовало пойти на север - вы можете думать об этом как о прогулке на пять отрицательных кварталов на север.
«Придумывая отрицательные числа, он расширяет вашу математическую вселенную и позволяет вам говорить о вещах, которые раньше были трудными», - говорит Мур.
Мнимые числа и комплексные числа, то есть числа, включающие мнимую составляющую, - еще один пример такого творческого мышления. Как объясняет Мур: «Если я спрошу вас, что такое квадратный корень из девяти, это легко, не так ли? Ответ - три, хотя он также может быть отрицательным тремя», поскольку умножение двух отрицательных чисел дает положительный результат .
Но каков квадратный корень из отрицательного? Есть ли число, которое при умножении само на себя дает отрицательное значение? «С одной стороны, такого числа нет», - говорит Мур.
Но математики эпохи Возрождения придумали хитрый способ обойти эту проблему. «До того, как мы изобрели отрицательные числа, не существовало такого числа, которое было бы два минус семь», - продолжает Мур. «Так что, может быть, нам следует изобрести число, которое является квадратным корнем из отрицательного. Давайте дадим ему имя. I ».
Придумав концепцию мнимого числа, математики обнаружили, что с его помощью можно делать действительно классные вещи. Помните, что умножение положительного числа на отрицательное равняется отрицательному результату, но умножение двух отрицательных чисел друг на друга равняется положительному результату. Но что произойдет, если вы начнете умножать i на семь, а затем снова на i ? Поскольку i умножить на i отрицательно, ответ будет отрицательным - семь. Но если умножить семь раз I раз I раз я раз я , вдруг вы получите положительный семь. «Они нейтрализуют друг друга», - отмечает Мур.
А теперь подумай об этом. Вы взяли мнимое число, несколько раз включили его в уравнение и в итоге получили реальное число, которое вы обычно используете в реальном мире.
Мнимые числа - это точки на плоскости
Только несколько сотен лет спустя, в начале 1800-х годов, математики открыли другой способ понимания мнимых чисел, рассматривая их как точки на плоскости, объясняет Марк Леви . Он профессор и глава математического факультета Пенсильванского государственного университета и автор книги 2012 года «Почему кошки приземляются на ноги: и 76 других физических парадоксов и головоломок».
Когда мы думаем о числах как о точках на линии, а затем добавляем второе измерение, «точки на этой плоскости - это мнимые числа», - говорит он.
Представьте себе числовую линию. Когда вы думаете об отрицательном числе, это 180 градусов от положительного числа на линии. «Когда вы умножаете два отрицательных числа, вы складываете их углы, 180 градусов плюс 180 градусов, и вы получаете 360 градусов. Вот почему оно положительное, - объясняет Леви.
Но вы не можете положить квадратный корень из отрицательного числа на оси X. Это просто не работает. Однако, если вы создадите ось Y, перпендикулярную оси X, теперь у вас есть место для ее размещения.
И хотя мнимые числа кажутся всего лишь набором математических глупостей, на самом деле они очень полезны для некоторых важных вычислений в современном технологическом мире, таких как вычисление потока воздуха над крылом самолета или выяснение утечки энергии. от сопротивления в сочетании с колебаниями в электрической системе. И вымышленный Роберт Лэнгдон не стал тянуть нас за ноги, когда упомянул, что они также используются в криптографии.
Комплексные числа с мнимыми компонентами также полезны в теоретической физике, объясняет Роландо Сомма , физик, который работает над алгоритмами квантовых вычислений в Национальной лаборатории Лос-Аламоса.
«Из-за их связи с тригонометрическими функциями они полезны для описания, например, периодических функций», - сообщает Сомма по электронной почте. «Они возникают как решения волновых уравнений, поэтому мы используем комплексные числа для описания различных волн, таких как электромагнитная волна. Таким образом, как и в математике, сложное исчисление в физике является чрезвычайно полезным инструментом для упрощения вычислений».
Комплексные числа также играют роль в квантовой механике, теории, которая описывает поведение природы в масштабе атомов и субатомных частиц.
«В квантовой механике« i »явно появляется в уравнении Шредингера» , - объясняет Сомма. «Таким образом, комплексные числа, по-видимому, играют более фундаментальную роль в квантовой механике, а не просто служат полезным инструментом вычислений».
«Состояние квантовой системы описывается ее волновой функцией», - продолжает он. «Как решение уравнения Шредингера, эта волновая функция представляет собой суперпозицию определенных состояний, и числа, появляющиеся в суперпозиции, являются сложными. Явления интерференции в квантовой физике, например, можно легко описать с помощью комплексных чисел».
Вот это интересно
Мнимые числа также упоминаются в романе Томаса Пинчона « Против дня » 2012 года .
