Неравенство Коши-Шварца

Цель этой статьи: Сформулировать неравенство, обсудить простое доказательство (их много) и некоторые приложения в областях математики.

Огюстен-Луи Коши — математик, чье имя я слышал снова и снова бесчисленное количество раз на протяжении всей моей математической степени — теорема Коши или интегральная формула Коши, последовательность Коши, уравнения Коши-Римана, распределение Коши и т. д. Он всегда появлялся хотя бы один раз. в любом модуле, который я проходил в университете — обязательном или по выбору — особенно анализе, многомерном исчислении, теории вероятностей и в нескольких алгебраических (линейная алгебра) и геометрических модулях.

Из его многочисленных теорем и результатов одно неравенство, которое он опубликовал, - это неравенство Коши-Шварца (или неравенство Коши-Буняковского-Шварца ). Сначала Коши опубликовал простое неравенство. За ними последовали Буняковский и Шварц , опубликовавшие интегральную версию неравенства и его современное доказательство.

Заявление

Остановимся на утверждении неравенства.

Неравенство Коши-Шварца утверждает, что

Давайте разберем это должным образом, потому что математические обозначения не универсальны. Много раз одни и те же обозначения используются по-разному в разных местах в зависимости от контекста математической концепции.

Евклидова норма , или длина, или величина

обозначается |x| и определяется,

Во многих других контекстах и ​​дисциплинах обозначение ||x|| используется вместо |x|.

Направление ненулевого вектора x определяется как единичный вектор x/|x| . Очевидное отношение

является математической формулировкой неформального определения (ненулевого) вектора как величины, которая имеет как величину, так и направление (*Обратите внимание, что нулевой вектор не имеет направления).

Евклидово расстояние между векторами x и y в R^n определяется как

Евклидово внутреннее произведение xy, также называемое точечным произведением и скалярным произведением векторов x, y, принадлежащих R^n, определяется как

Другие обозначения для xy включают (x, y) и <x, y>. Из вышеприведенных определений видно, что

Итак, неравенство Коши-Шварца,

или, для меньшей путаницы,

можно переписать как,

Доказательство

Теперь давайте докажем это. Есть много маленьких и простых способов доказать это неравенство. Об одном из них я расскажу в этой статье.

Сначала возьмем два ненулевых вектора x, y, принадлежащих R^n.

пусть f (k) будет функцией, определяемой как

(ky — x) тоже вектор. Мы знаем, что длина любого вещественного вектора всегда положительна, потому что длина — это абсолютное значение вектора, что означает, что это корень квадратов. Итак, длина любого вещественного вектора всегда больше или равна 0.

Так,

Мы знаем, что если мы возьмем любой вектор v,

Итак, для вектора (ky — x),

Мы знаем, что скалярное произведение является дистрибутивным, ассоциативным и коммутативным. Используя распределительное свойство скалярного произведения,

Затем, используя коммутативные и ассоциативные свойства скалярного произведения,

Давайте

Это будет больше 0 для любого k.

Теперь мы преобразуем k = b/2a в функцию f(k). Прежде чем мы оценим, мы должны точно знать, что знаменатель не равен нулю. Итак, a = yy, где y — ненулевой вектор. Ранее мы также установили, что длина любого вещественного вектора больше 0. Следовательно, a не равно нулю, а значит, и 2a.

оценка,

Упрощение неравенства дает нам,

Возвращая исходные значения a, b и c,

Укореняясь по обе стороны неравенства,

Это неравенство Коши-Шварца. Значит, доказано!

Кроме этого, есть много вариантов, в которых может быть доказано это неравенство.

Теперь, прежде чем мы перейдем к его приложениям, позвольте мне отметить одну вещь. Что, если один вектор в неравенстве является скалярным множителем другого. Это значит, что если

Затем,

Таким образом, в случае, когда один вектор в неравенстве является скалярным кратным другого, неравенство Коши-Шварца становится равенством,

Приложения

Это неравенство применяется во многих областях и областях исследований, таких как линейная алгебра (матрицы, векторы и преобразования), теория вероятностей (случайные величины, ожидаемые значения и корреляция), а также в физике (принцип неопределенности и фотонный шум) и инженерии. (среднеквадратичные значения по сравнению с пиковыми значениями сигнала)

В геометрии его можно использовать для нахождения угла между двумя ненулевыми векторами. Из неравенства Коши-Шварца следует, что если оба вектора x и y отличны от нуля, то существует единственный

Если вы знаете неравенство треугольника из анализа, определяемое как

Зная простые алгебраические, векторные и скалярные свойства, это неравенство треугольника можно доказать с помощью неравенства Коши-Шварца.

Уравнение

используется в статистике, особенно в теории вероятностей, для доказательства ковариационного неравенства, где «Var» обозначает дисперсию, а «Cov» обозначает ковариацию.

В многомерном исчислении, которое было частью моей курсовой работы в Уорике, это неравенство использовалось при определении и доказательстве отношения между |Ax| и |х| из которого возникает операторная норма , когда x пробегает R ^ n, где,

L(R^n,R^k) — пространство линейных отображений,

Следовательно, в этой статье мы углубились в один из многих важных результатов в высшей математике, который является очень полезным инструментом для множественных доказательств и понимания различных концепций математики.