Площадь круга

Общеизвестно, что площадь круга равна πr². Было несколько методов доказательства этой идеи. Позвольте мне познакомить вас с другим способом мышления о кругах.

На изображении выше показан правильный многоугольник с 30 сторонами. Разве это не похоже на круг?

Это свойство мы и будем использовать, чтобы найти площадь круга. Но прежде чем мы доберемся до этого, важно закрепить некоторые идеи, создав ящик с инструментами.

Сундук с инструментами:

• Площадь равнобедренного треугольника = (1/2)*(a²sinθ)
• lim (sin x)/x (x → 0) = 1
• 180° = π радиан

где ,
n — количество сторон
a — длина двух равных сторон треугольника
θ — угол между двумя равными сторонами треугольника
A — площадь n-стороннего правильного многоугольника

Важно отметить, что «θ» также можно записать как 360°/n. Подумайте, почему это правда. Кроме того, для круга « а» называется радиусом.

Далее, что произойдет, если n станет равным ∞? Покажи нам:

Приведенное выше выражение можно немного изменить, умножив и разделив на (360/n). Он сводится к форме lim (sin x)/x (x → 0) = 1 из нашего набора инструментов.

Наконец, после сокращения n в числителе и знаменателе у нас остается:

Но 180° = π радиан из нашего ящика с инструментами. Следовательно, площадь круга равна:

Это доказательство вызывает у нас новый вопрос: можем ли мы доказать, что длина окружности равна 2πr, используя тот же метод?
Попробуйте подумать, возможно это или нет и почему.