Уравнения Коши-Римана

Цель статьи: Показать отличие понятия дифференцируемости для действительных и комплекснозначных функций.

Предполагаемые знания: основы исчисления, свойства комплексных чисел.

Реальная дифференцируемость

Определение: функция f дифференцируема в точке x , если существует следующий предел:

Когда предела не существует?

• Когда предел, приближающийся справа, не равен пределу, приближающемуся слева (RHL =/= LHL) или,
• Когда существует вертикальная асимптота (т. е. предел бесконечен, а касательная к графику имеет бесконечный наклон)

• Когда правый и левый пределы не равны: это означает, что либо функция не непрерывна, либо ее график имеет острые углы.
• Когда предел бесконечен или наклон касательной в этой точке бесконечен, это означает, что на графике есть вертикальная линия или он имеет вертикальную асимптоту.

• не непрерывный ,
• имеет острые края
• его график состоит из вертикальной линии (или имеет вертикальную асимптоту),

Дифференцируемость подразумевает непрерывность . Но, наоборот, неверно. Непрерывность не означает дифференцируемости . Следовательно, непрерывность функции является необходимым условием дифференцируемости, но не достаточным условием.

Теперь все вышесказанное относится к функциям одной переменной. А как насчет дифференцируемости функций с несколькими переменными? Эта концепция является частью исчисления многих переменных , и функции здесь называются « реальными » дифференцируемыми.

В многомерном исчислении непрерывность частных производных подразумевает дифференцируемость . Таким образом, если говорят, что функция действительно дифференцируема , то ее частные производные существуют и она непрерывна. (Это значительное упрощение всех доказательств и теорем в исчислении многих переменных, которые в конечном итоге привели к этому результату, но мы рассмотрим это в следующей статье.)

Комплексная дифференцируемость

Определение: Пусть Ω — открытое подмножество комплексной плоскости ( C ), а z — комплексная точка в области Ω. Мы говорим, что функция f : Ω → C комплексно дифференцируема в z, если существует следующий предел,

Обозначим предел через f '(z) и назовем его производной от f в точке z.

В многомерном исчислении производная действительной функции представляет собой линейную карту от R ^ n до R ^ k. В этом случае каждая точка состоит из действительной и мнимой частей, что означает, что производная будет от R ^ 2 до R ^ 2, что соответствует матрице 2 на 2, и тогда мы получим комплексное число.

Прежде чем изучать, как согласовать это различие, мы рассмотрим последствия определения для действительной и мнимой частей f . Давайте напишем h = Δx+iΔy и f (z) = u(z)+iv(z), что мы также можем представить как

f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y) .

Итак, Re( f ) = u(x, y) и Im( f ) = v(x, y)

Тогда частное в определении комплексной производной можно переписать как

Мы могли бы рассмотреть несколько способов обращения Δx+iΔy к нулю, получая один и тот же ответ, если предел существует.

Мы рассмотрим два очевидных варианта, отправив сначала Δx в ноль, а затем Δy, и наоборот, сначала Δy, а затем Δx. Мы нашли,

Это сразу означает, что, по крайней мере, нам нужно потребовать, чтобы некоторые отношения между частными производными u и v сохранялись, чтобы иметь комплексный дифференциал. А именно,

Эти уравнения известны как уравнения Коши–Римана .

Это явно необходимые условия, но на данном этапе они никоим образом не гарантируют существования сложного дифференциала, если они выполняются.

Теперь воспользуемся уравнениями Коши–Римана и свяжем комплексную дифференцируемость с зависимостью функции от комплексно-сопряженного z (z bar).

Рассмотрим f (z) в виде u(x, y)+iv(x, y). Используя тот факт, что,

мы можем переписать функцию обратно через z и ¯z. Теперь мы можем рассмотреть производную от f по ¯z. Применив цепное правило, мы получили бы,

до которого мы можем упростить,

Обратите внимание, что если функция комплексно дифференцируема, она удовлетворяет уравнениям Коши – Римана, и поэтому приведенное выше выражение тождественно равно нулю. В этом смысле говорят, что если функция комплексно дифференцируема, то

Приведенные выше два уравнения также можно записать в виде

Далее мы также можем определить,

Хотя df / d z имеет смысл только для действительного дифференцируемого f , если f также является комплексно дифференцируемым в z

то мы находим, что,

так что теперь уравнения Коши-Римана можно просто записать так:

Комплексная дифференцируемость f намного сильнее, чем фактическая дифференцируемость f. Это связано с тем, что комплексная дифференцируемость f эквивалентна паре условий, что f действительно дифференцируема И выполняются уравнения Коши-Римана .

Таким образом, как непрерывность является необходимым, но недостаточным условием для вещественных дифференцируемых функций, так и уравнения Коши-Римана для комплексных дифференцируемых функций. Это необходимое условие, но недостаточное, чтобы показать, что функция f комплексно дифференцируема.

MA259 Multivariable Calculus (2020–21), MA244 Analysis III (2020–21) и MA3B8 Complex Analysis (2021–22) — конспекты лекций Уорикского университета, на которые ссылаются и которые используются для изучения и исследований при написании этой статьи.