Hyperconcise Math D5: จำนวนเชิงซ้อน

พิกัดเชิงขั้ว (r, θ) = (ขนาด, มุมทวนเข็มนาฬิกากับคาร์ทีเซียน (1, 0)) สามารถใช้ติดตามมุมระหว่างเวกเตอร์หลายตัวในสองมิติได้ พวกมันเกี่ยวข้องกับพิกัดคาร์ทีเซียน (x, y) ผ่านสมการ x = r⦁cos(θ) และ y = r⦁sin(θ) ((−r, θ) หมายถึงจุด (r, θ + τ/2 ) และถ้า k เป็นจำนวนเต็มใดๆ (r, θ + k⦁τ) หมายถึงจุด (r, θ)) แก้หา r และ θ, r² = x² + y² และ

ตัวอย่างเช่น,

การคูณจำนวน (เวกเตอร์ 1 มิติ) ด้วย −1 จะหมุนมัน τ/2 เรเดียนรอบ 0 (ในพื้นที่ 1 มิติ) เราสามารถกำหนดประเภทของตัวเลขใหม่ (i) เช่น การคูณจำนวนด้วย i จะหมุนมัน τ/4 เรเดียนรอบ 0 (ในระนาบเชิงซ้อน); จำนวนใดๆ ในรูป x + i⦁y โดยที่ทั้ง x และ y เป็นจำนวนจริง (จำนวนใดๆ ที่สามารถกำหนดเป็นลิมิตของหนึ่งนิพจน์ทศนิยม) และ i² = −1 เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน ระนาบเชิงซ้อนคือปริภูมิ 2 มิติที่ประกอบด้วยจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด

ถ้า z เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ (e คือค่าคงที่ที่กำหนดด้วยแคลคูลัส)

ตัวอย่างเช่น,

เมื่อใช้คุณสมบัติของ "ฟังก์ชัน" ผกผันกับจำนวนเชิงซ้อน คุณจะไม่สามารถละเลยสาขาอื่นๆ ได้อีกต่อไป:

ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต: ถ้าแต่ละ aₖ และ bₖ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ขึ้นกับ z (บางตัวอาจเท่ากัน) ดังนั้น