ทฤษฎีบทของกรีนได้รับการตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ จอร์จ กรีน เป็นทฤษฎีบทที่เป็นแก่นสารในแคลคูลัส ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาอย่างเข้มงวดเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงและฟังก์ชันอย่างต่อเนื่อง บทความนี้จะสำรวจแคลคูลัสในปริภูมิแบบยุคลิด 3 มิติ R³ และมีจุดมุ่งหมายเพื่อเชื่อมช่องว่างระหว่างวิชาคณิตศาสตร์ในโรงเรียนและมหาวิทยาลัย

ทฤษฎีบทแรกในการศึกษาเวกเตอร์แคลคูลัสจะลดปริพันธ์พื้นที่ให้เป็นปริพันธ์เชิงเส้น มันเชื่อมโยงอินทิกรัลเส้นหนึ่งรอบเส้นโค้งปิดอย่างง่าย C กับอินทิกรัลสองเท่าเหนือพื้นที่ระนาบ D ที่ล้อมรอบด้วย C

สัญชาตญาณ

เพื่อให้เข้าใจง่ายๆ ให้นึกถึงการไหลของของไหลในระนาบสองมิติ ลองนึกภาพว่าของไหลกำลังไหลภายในบริเวณหนึ่ง และอธิบายการไหลของของไหลด้วยสนามเวกเตอร์ เส้นโค้งซึ่งล้อมรอบบริเวณนี้ อาจถูกมองว่าเป็นกำแพงกั้น และเราสนใจที่การหมุนเวียนสุทธิของของไหลรอบๆ กำแพงกั้นนี้

สัญชาตญาณในที่นี้คือการไหลเวียนสุทธิรอบเส้นโค้งปิดถูกกำหนดโดย "พฤติกรรมการหมุน" (ขด) ของสนามเวกเตอร์ภายในขอบเขตที่ล้อมรอบ หากขดเป็นบวก หมายความว่าฟิลด์นั้นหมุนไปในทิศทางเดียวกับการวางแนวของเส้นโค้ง (ทวนเข็มนาฬิกา) ซึ่งก่อให้เกิดการหมุนเวียน ถ้าขดเป็นลบ มันจะตรงข้ามกับแนวของเส้นโค้ง ทำให้การหมุนเวียนลดลง

พื้นที่วงรี

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของกรีนอยู่ในพื้นที่การคำนวณ ต่อไปนี้เป็นพื้นที่ของภาค D

เป้าหมายของเราคือเลือกฟังก์ชัน P และ Q ตามอำเภอใจเพื่อให้เราได้รับสิ่งต่อไปนี้เป็นที่พอใจ

มีความเป็นไปได้ที่มีประโยชน์มากมาย

อย่างที่เราเห็น การแสดงออกที่แตกต่างกันเหล่านี้ล้วนให้พื้นที่เดียวกัน

ในการคำนวณพื้นที่ด้วยทฤษฎีบทของกรีน เราจะเลือกความเป็นไปได้แรก

C หมายถึงเส้นโค้งของสมการวงรี เราจะแบ่งพารามิเตอร์เป็นดังต่อไปนี้

เส้นโค้งมีตั้งแต่ 0 ถึง 2pi ปริพันธ์คือตอนนี้

จากนั้น เราสามารถแทนค่า x = acost(t) รวมทั้งอนุพันธ์ของ y เทียบกับ t

ในแบบฝึกหัด ลองคำนวณอินทิกรัลและคำตอบควรออกมาเป็น

ขอบคุณสำหรับการอ่าน. อย่าลืมตบมือบทความหากคุณเห็นว่ามีประโยชน์