Fraktallar ve boyutları

Fraktallar, kaotik tasarımlarda düzen ve desen gösteren çılgın şekillerdir. Çok sayıda büyüleyici kıvrımı var. Bu ilginç desenler, benzersiz özelliklerinden dolayı ayrı ayrı incelenmiştir. Bunlardan biri Sierpinski üçgeni .

Sierpinski üçgeni temelde dört eşkenar üçgene bölünmüş bir eşkenar üçgendir (aşağıdaki resimde gösterildiği gibi) ve merkezi üçgen kaldırılmıştır. Daha sonra bu alt üçgenler yine benzer şekilde dört eşkenar üçgene bölünür ve ortadaki üçgen çıkarılır. Bu süreç sonsuz kez yinelenir ve bu süreçte alınan karmaşık üçgen Sierpinski üçgenidir. Şimdi, bir Pascal üçgeninde tüm tek sayılar siyaha ve çift sayılar beyaza boyanmışsa, o zaman sonunda elde ettiğiniz şey Sierpinski üçgenidir. Beklenmedik, değil mi?

Fraktallar sadece matematiksel olarak yaratılmış rastgele şekiller veya desenler değildi. Nüfus grafiğinde de görüldü. Gıdanın doğrusal olarak arttığı, ancak nüfusun üstel bir şekilde arttığı gözlemlendi. Daha sonra nüfusun bu şekilde artmaya devam etmediği keşfedildi. Birkaç yıl arttı, sonra yiyecek ve kaynak yetersizliği nedeniyle tekrar düştü. Bu popülasyon değişiklikleri basit bir işlevi takip etti,

[Yukarıdaki denklem (1) olarak etiketlensin.]

X, mevcut yılın nüfusu ve X_next, X'ten sonraki yılın nüfusu ve r, modellenen nüfusa göre ayarlanabilen bir sabittir. Sistemlerin uzun vadeli davranışını gözlemlemek ve ne olduğunu görmek için bu formül defalarca tekrarlandı. Bu işleme iterasyon denir.

Denklem (1), 'r' 3.5 olarak alınarak ve varsayımsal bir durumla X'in değerinin sadece 0 ile 1 arasında olduğu varsayılarak çizilir ve sonsuz kez yinelenir. Elde edilen grafik şöyleydi:

Bu grafik, kendi kendine benzerlik özelliğini gösterdiği için bir fraktal olarak kabul edildi. Grafikteki geniş boşluk olan grafiğin 'sıra penceresini' yakınlaştırdığınızda, aynı orijinal grafiğin o pencerede yeniden olduğunu fark edeceksiniz. Ne kadar yakınlaştırırsanız, kaos penceresinde aynı grafiği tekrar tekrar bulursunuz. Bu Fraktal, 'İncir ağacı' olarak anılıyordu.

Daha önceki yazılarımdan birinde de bahsettiğim gibi Fraktallar kaba ve düzensiz şekillerdir. Bu pürüzlülük ve düzensizlik kolayca hesaplanabilir. Nasıl? Fraktal boyutlarını hesaplayarak. Felix Hausdorff ve Abram Besicovitch , fraktalların tamsayı olmayan boyutları olduğunu keşfettiler. Fraktalların, tam sayı boyutları 'arasında' boyutu olan eğriler olduğunu açıkladılar. Bu fraktal boyutlar bu nedenle Hausdorff-Besicovitch boyutu olarak da adlandırılır. Ancak bu boyutlar nasıl hesaplanır? Boyutları kolayca hesaplamak için kullanılabilecek iki ana yöntem vardır.

Birincisi, fraktalların sahip olduğu kendine benzerlik özelliğini kullanarak. Bilinen boyutları 1,2 ve 3 olan şekilleri alalım.Birinci boyut için 1 birim uzunluğunda bir doğru alıp orijinal uzunluğunun 1/4'ü kadar küçültelim. Yani, uzunluğu şimdi 1/4 birimdir. Orijinal uzunluğu elde etmek için, doğrunun 1/4'ünü dört kez çarpmamız gerekir. Çarpan, çizginin küçültüldüğü sayı 's', orijinal uzunluğu elde etmek için 's'nin çarpıldığı sayı 'n' ve boyut 'D' olsun. Böylece, bu durumda şunu gözlemleyeceksiniz,

Bu formül her boyut için geçerlidir. Bunu 2 boyutlu bir şeklin alanını kullanarak kanıtlamaya çalıştığımızı varsayalım. Öyleyse, birim uzunluğu olan bir karenin her bir kenarını, orijinal uzunluğunun 1/2'si olacak şekilde küçültelim, böylece alanı küçültülebilir. 1/4. Böylece orijinal kareyi geri almak için, küçültülmüş kareyi 4 kez çarpmamız gerekiyor.

Böylece, gereken boyut olan D = 2.
Benzer şekilde, 3 boyutlu bir şekil için ispatlanabilir.

Böylece, bulunan genel denklem,

Denklem (2), bir şeklin fraktal boyutunu bulmak için kullanılabilecek formüllerden biridir. Şimdi, bir Koch eğrisi aldığımızı varsayalım,

Yukarıda verilen n ve s değerleri ile fraktal boyutunu denklem (2) ile hesaplamaya çalışırsak yaklaşık olarak 1.26 elde ederiz. Bu, fraktal Koch eğrisinin boyutudur.

İkincisi, bir ızgara sayma yöntemi kullanarak.
Bu yöntemde, fraktal görüntünün üzerine, içindeki her kutunun ölçeği 1 birim olan ızgaralar çizmeniz yeterlidir. Sonra tekrar üzerine bir ızgara çizin, ancak her kutunun ölçeği bu kez 1/2'dir. Yine, her kutunun ölçeği 1/4'tür. Fraktalın geçtiği kutu sayısını sayın. Aşağıdaki formülü kullanarak boyutu hesaplayabilirsiniz,

n( ) görüntüyü içeren karelerin sayısı ve 1/s ızgara ölçeğidir. Artık Koch eğrisinin Boyutunu hesaplayabiliriz. Aşağıda 1 : 1/2 : 1/4 oranında üç ölçek ızgarası verilmiştir. Sayım yapılarak birinci, ikinci ve üçüncü gridin kutu sayısı sırasıyla 18, 41 ve 105 olarak bulunmuştur.

Ölçek 1 ve 1/2 ızgarasını kullanarak boyut hesaplama,

Ölçek 1 ve 1/4 ızgarasını kullanarak boyut hesaplama,

1/2 ve 1/4 ölçek ızgarasını kullanarak boyut hesaplama,

Bu üç değerin ortalaması bulunarak yaklaşık olarak 1,27 olarak bulunmuştur. Bu, Koch eğrisinin orijinal boyutu olan 1.26'ya yakındır.

Dolayısıyla bunlar, bir fraktal görüntünün fraktal boyutunu hesaplayabileceğiniz iki basit yoldur.