Probablemente tenga una idea intuitiva de lo que es un círculo : la forma de un aro de baloncesto, una rueda o una moneda. Incluso puede recordar de la escuela secundaria que el radio es cualquier línea recta que comienza en el centro del círculo y termina en su perímetro.
Un círculo unitario es simplemente un círculo que tiene un radio con una longitud de 1. Pero a menudo, viene con algunas otras campanas y silbidos.
Se puede usar un círculo unitario para definir relaciones de triángulos rectángulos conocidas como seno, coseno y tangente. Estas relaciones describen cómo los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo se relacionan entre sí. Digamos, por ejemplo, que tenemos un triángulo rectángulo con un ángulo de 30 grados y cuyo lado más largo, o hipotenusa, tiene una longitud de 7. Podemos usar nuestras relaciones predefinidas de triángulos rectángulos para calcular las longitudes de los dos lados restantes del triángulo. .
Esta rama de las matemáticas, conocida como trigonometría , tiene aplicaciones prácticas cotidianas como construcción, GPS, plomería, videojuegos, ingeniería, carpintería y navegación aérea.
Para memorizar un círculo unitario estándar, necesitamos poder recordar tres componentes principales:
- Cuatro cuadrantes
- 16 ángulos
- (x, y) coordenadas para cada uno de los 16 ángulos, donde el radio toca el perímetro del círculo
Para ayudarnos, vamos a recordar un viaje a Unit Pizza Palace. Tómese unos minutos para memorizar lo siguiente hasta que pueda recitarlo sin mirar:
- 4 rebanadas de pizza
- 3 pasteles por $ 6
- 2 mesas cuadradas
- 1 , 2, 3
Paso 1: 4 rebanadas de pizza
Imagínese una pizza entera, cortada en cuatro porciones iguales. En matemáticas llamaríamos a estas cuatro partes del círculo cuadrantes .
Podemos usar las coordenadas (x, y) para describir cualquier punto a lo largo del borde exterior del círculo. La coordenada x representa la distancia recorrida hacia la izquierda o hacia la derecha desde el centro. La coordenada y representa la distancia recorrida hacia arriba o hacia abajo. La coordenada x es el coseno del ángulo formado por el punto, el origen y el eje x. La coordenada y es el seno del ángulo.
En un círculo unitario, una línea recta que viaja directamente desde el centro del círculo llegará al borde del círculo en la coordenada (1, 0). Si en cambio subiéramos, a la izquierda o hacia abajo, tocaríamos el perímetro en (0, 1), (-1, 0) o (0, -1) respectivamente.
Los cuatro ángulos asociados (en radianes, no en grados) tienen todos un denominador de 2. (Un radianes es el ángulo que se forma al tomar el radio y envolverlo alrededor de un círculo. Un grado mide los ángulos por la distancia recorrida. Un círculo es 360 grados o 2π radianes).
Los numeradores comienzan en 0, comenzando en la coordenada (1,0) y cuentan hacia la izquierda en 1π. Este proceso producirá 0π / 2, 1π / 2, 2π / 2 y 3π / 2. Simplifica estas fracciones para obtener 0, π / 2, π y 3π / 2.
Paso 2: 3 tartas por $ 6
Comience con "3 pasteles". Eche un vistazo al eje y. Los ángulos en radianes directamente a la derecha e izquierda del eje y tienen todos un denominador de 3. Cada ángulo restante tiene un numerador que incluye el valor matemático pi, escrito como π.
"3 pasteles por 6" se usa para recordar los 12 ángulos restantes en un círculo unitario estándar, con tres ángulos en cada cuadrante. Cada uno de estos ángulos se escribe como una fracción.
El "por $ 6" es para recordarnos que en cada cuadrante, los denominadores restantes son 4 y luego 6.
La parte más complicada de este paso es completar el numerador de cada fracción.
En el cuadrante 2 (cuarto superior izquierdo del círculo), coloque 2, luego 3, luego 5 delante de π.
Su primer ángulo en el cuadrante 2 será 2π / 3. Sumando el 2 en el numerador y el 3 en el denominador dará como resultado 5. Mire el ángulo recto en el cuadrante 4 (cuarto inferior derecho del círculo). Coloque este 5 en el numerador delante de π. Repite este proceso para los otros dos ángulos en los cuadrantes 2 y 4.
Repetiremos el mismo proceso para los cuadrantes 1 (arriba a la derecha) y 3 (abajo a la izquierda). Recuerde, al igual que x es lo mismo que 1x, π es lo mismo que 1π. Entonces estamos sumando 1 a todos los denominadores en el cuadrante 1.
El proceso para enumerar ángulos en grados (en lugar de radianes) se describe al final de este artículo.
Paso 3: 2 mesas cuadradas
El "2" en "2 tablas cuadradas" es para recordarnos que los 12 pares de coordenadas restantes tienen un denominador de 2.
"Cuadrado" es para recordarnos que el numerador de cada coordenada incluye una raíz cuadrada. Solo comenzamos con el cuadrante 1 para simplificar las cosas. (Sugerencia: recuerde que la raíz cuadrada de 1 es 1, por lo que estas fracciones se pueden simplificar a solo 1/2).
Paso 4: 1, 2, 3
El "1, 2, 3" nos muestra la sucesión de números debajo de cada raíz cuadrada. Para las coordenadas x del cuadrante 1, contamos de 1 a 3, comenzando en la coordenada superior y descendiendo.
Las coordenadas y tienen los mismos numeradores, pero cuentan de 1 a 3 en la dirección opuesta, de abajo hacia arriba.
El cuadrante 2 tiene las mismas coordenadas que el cuadrante 1, pero las coordenadas x son negativas.
El cuadrante 3 cambia las coordenadas xey del cuadrante 1. Todas las coordenadas xey también son negativas.
Al igual que el cuadrante 3, el cuadrante 4 también cambia las coordenadas xey del cuadrante 1. Pero solo las coordenadas y son negativas.
Ángulos en grados
Es posible que desee hacer referencia a los ángulos en grados en lugar de radianes. Para hacerlo, comience en 0 grados en la coordenada (1,0). A partir de ahí, agregaremos 30, 15, 15 y luego 30. En el cuadrante 1, agregamos 30 a 0 para obtener 30, agregamos 15 a 30 para obtener 45, agregamos 15 a 45 para obtener 60, y agregamos 30 a 60 para obtener 90.
Luego repetimos el proceso para los cuadrantes restantes, agregando 30, 15, 15 y 30 hasta llegar al final del círculo. Entonces, el cuadrante 4 tendrá ángulos que van desde 270 a 330 grados (ver figura 10).
Poniéndolo en práctica
Anteriormente en el artículo, mencionamos que un círculo unitario podría usarse para encontrar dos lados desconocidos de un triángulo rectángulo con un ángulo de 30 grados, y cuyo lado más largo, o hipotenusa, tiene una longitud de 7. Intentémoslo.
Tome nota de dónde está 30 ° en el círculo unitario. Usa esa línea y el eje x para crear un triángulo de la siguiente manera.
En un círculo unitario, cualquier línea que comience en el centro del círculo y termine en su perímetro tendrá una longitud de 1. Entonces, el lado más largo de este triángulo tendrá una longitud de 1. El lado más largo de un triángulo rectángulo es también conocida como la "hipotenusa". El punto donde la hipotenusa toca el perímetro del círculo está en √3 / 2, 1/2.
Entonces sabemos que la base del triángulo (en el eje x) tiene una longitud de √3 / 2 y la altura del triángulo es 1/2.
Otra forma de pensarlo es que la base es √3 / 2 veces la longitud de la hipotenusa y la altura es 1/2 veces la longitud de la hipotenusa.
Entonces, si en cambio, la hipotenusa tiene una longitud de 7, la base de nuestro triángulo será 7 x √3 / 2 = 7√3 / 2. La altura del triángulo tendrá una longitud de 7 x 1/2 = 7/2.
Eso es interesante
Se cree que la trigonometría se desarrolló originalmente en el siglo I a. C. para comprender la astronomía, el estudio de las estrellas y el sistema solar. Todavía se utiliza en la exploración espacial por parte de la NASA y empresas privadas de transporte espacial.
