Ceny bez arbitrażu

Question

Mamy kontrakt, którego wartość wynosi $A(S_t,t) = S_t^3$ przez cały czas, a nie tylko po wygaśnięciu. $S_t$, instrument bazowy, podąża za geometrycznym ruchem Browna, $\frac{dS}{S} = \mu dt + \sigma dB$. Jak moglibyśmy pokazać, że jest to niezgodne z ustalaniem cen bez arbitrażu?

Pomyślałem, że potencjalnym rozwiązaniem mogłoby być wykazanie, że w ramach Q-miary nie jest to Martingale. Zasadniczo zaczynamy od tego założenia$A(S_t, t)$ jest Martingale, co implikuje$e^{-rt}E^Q[A_t] = A_0 = S_0^3$. Wiemy jednak, że dzięki środkowi neutralności pod względem ryzyka$S_t = S_0e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})t + \sigma \sqrt{t} Z^Q}$ gdzie $Z$jest standardem normalnym. Wynika, że$A(S_t, t) = S_t^3 = S_0^3e^{3(r-\frac{\sigma^2}{2})t + 3\sigma \sqrt{t} Z^Q}$. Obliczanie oczekiwań$e^{-rt}E^Q[S_t^3] = S_0^3 e^{-rt}\int_{z^*}^{\infty} \frac{dz}{\sqrt{2 \pi}} e^{\frac{-z^2}{2}}e^{3(r-\frac{\sigma^2}{2})t + 3\sigma \sqrt{t} Z^Q}$ otrzymujemy $S_0^3 e^{2rt + 3\sigma^2t}$. Dlatego$S_0^3 e^{2rt + 3\sigma^2t} \neq S_0^3$ wnioskujemy, że $A(S_t, t)$ nie jest Martingale, więc fakt, że kontrakt ma wartość $S_t^3$ przez cały czas jest niezgodne z cenami bez abitrage.

Czy coś takiego zadziała? Każda pomoc byłaby bardzo mile widziana. Dzięki.

Answer 1

W ramach środka neutralnego pod względem ryzyka poprzez zastosowanie Ito: $$ dS^3_t = 3 \left[ (r + \sigma^2)S^3_t dt + \sigma S^3_t dW_t \right] $$ Dryf neutralny pod względem ryzyka nie jest stopą wolną od ryzyka, a zatem $S_t^3 \; \forall t$ nie może być ceną roszczenia ani żadnego innego zbywalnego aktywa.

Więc w zasadzie według tych samych linii, co twój dowód, ale bez obliczania oczekiwań itp. Wystarczy spojrzeć na lokalny dryf.