Ciągłe pytanie sprawdzające

Question

Niech f: [0, ∞) → R będzie funkcją ciągłą i niech g: [0, ∞) → R będzie funkcją zdefiniowaną przez g (x) = sup {f (y) | y ∈ [0, x]}. Udowodnij, że g jest również ciągłe.

Próbowałem użyć tekstu Intro to Real Analysis, aby ukończyć ten dowód, ale nie jestem pewien, jak manipulować supermum. Wiem, że muszę pokazać, że g rośnie, ale wtedy nie wiem, dokąd mam iść.

Każda pomoc będzie mile widziana.

Answer 1

Udowodniłbym przeciwstawność: jeśli $g$ jest nieciągły o $x_0$, więc tak jest $f$. Rzeczywiście, pokazywanie$g$wzrost jest bardzo pomocny, ponieważ nieciągłości w zwiększających się funkcjach muszą być nieciągłościami skokowymi. W szczególności (z wyjątkiem specjalnego przypadku$x_0 = 0$) musimy mieć $$\lim_{x \to x_0^-} g(x) < \lim_{x \to x_0^+} g(x).$$Te jednostronne granice istnieją zasadniczo w ciągłej wersji monotonicznego twierdzenia o zbieżności. Od lewej funkcja rośnie i jest ograniczona powyżej$g(x_0 + 1)$. Od prawej strony funkcja maleje, poniżej jest ograniczona$g(x_0/2)$ (Nie wybrałem $x_0 - 1$, w razie czego $x_0 \in (0, 1)$).

Z drugiej strony, jeśli $x_0 = 0$, to jedyny sposób, w jaki możemy mieć nieciągłość, to jeśli $$f(0) = g(0) < \lim_{x \to 0^-} g(0).$$ Należy to rozpatrzyć jako oddzielny przypadek.

Jeśli $x_0 > 0$, a następnie zostaw lewy limit $g$ być $L$ i właściwa granica $R$. Proponuję to udowodnić$f(x) \le L$ dla wszystkich $x \in [0, x_0]$sugerując, że $\lim_{x \to x_0} f(x) \le L$jeśli taki limit istnieje. Ale z drugiej strony dla każdego$n \in \Bbb{N}$muszą istnieć $x_n \in [0, x_0 + 1/n]$ takie że $f(x_n) \ge R$. To daje do zrozumienia ze$\lim_{x \to x_0} f(x) \ge R$jeśli istnieje. Zatem granica nie może istnieć$f$ nie może być ciągły o $x_0$.

Zostawię $x_0 = 0$do ciebie, a także wypełnianie pustych miejsc! Daj mi znać jeśli będziesz jeszcze potrzebować pomocy.