Ciągłość $f$ w $x=0$

Question

Czy mógłbyś mi pomóc w następującym pytaniu z rachunku Adama?

Pozwolić $$ f(x) = \begin{cases} x, & \text{if } x=1, 1/2, 1/3, \ldots \\ x^2, & \text{otherwise.} \end{cases} $$ Czy to jest ciągłe o godz $x=0$?

Zgodnie z definicją ciągłości nie jest ona ciągła o godz $x=1/2, 1/3, 1/4, \ldots$ W $x=0$ jest ciągły, ale nie mogę zrozumieć, jak to jest ciągłe $x=0$ gdy wartości $f$ zbliżają się $0$w dwóch różnych stawkach. Mam na myśli, w każdym przedziale zawierającym$x=0$istnieją punkty, w których funkcja jest nieciągła. Czy wystarczy polegać na definicji ciągłości?

Answer 1

Pozwolić $\epsilon>0$być arbitralne. Dzięki własności Archimedesa istnieje$n\in\mathbb N$ takie że $\epsilon>1/n$. Pozwolić$\delta=1/n$.

Teraz pozwól $|x|<\delta$być arbitralne. Jeśli$x=1/m$ dla niektórych $m\in\mathbb N$, następnie $|f(x)-f(0)|=1/m<1/n<\epsilon$.

Inaczej, $|f(x)-f(0)|=x^2\le |x|<\delta=1/n<\epsilon$.

A zatem, $f$ jest ciągła o godz $x=0$.

Answer 2

Wystarczy zauważyć, że dla $|x|<1$, ty masz $$ |f(x)-0| \leq x \to 0, \quad x\to 0 $$ To daje do zrozumienia ze $\lim_{x\to 0} f(x)=0=f(0)$, i dlatego $f$ jest ciągła o godz $x=0$.

Answer 3

Nie ma „tempa” zbliżania się. Nic się nie zbliża.

Funkcja jest ciągła przy $a$ jeśli dla każdego $\varepsilon>0$, tam istnieje $\delta>0$ takie, że dla $|x-a|<\delta$, zawiera $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$.

W Twoim przypadku, $|f(x)|<\varepsilon$ jest nierówność do udowodnienia.

Potrzebujemy tego $1/n<\delta$ sugeruje $1/n<\varepsilon$, więc pierwszą próbą jest wybór $\delta=\varepsilon$. Jednak tego też potrzebujemy$|x|<\delta$ sugeruje $|x^2|<\varepsilon$ za punkty nie z formy $1/n$. OK, wybierzmy$$ \delta=\min(\varepsilon,1) $$ Teraz jeśli $1/n<\delta$, następnie $1/n=|f(1/n)|<\varepsilon$. W pozostałych kwestiach$$ |f(x)|=|x^2|<|x|<\delta\le\varepsilon $$ i gotowe.