Czy to prawda, że $V^{\,T}SV=\Lambda$?
Skłonić
Macierz symetryczna $S=S^T$ ma ortonormalne wektory własne $\vec{v}_1$ do $\vec{v}_n$. Następnie dowolny wektor$\vec{x}$ można zapisać jako kombinację $\vec{x} = c_1 \vec{v}_1+ \cdots + c_n \vec{x}_n$. Wyjaśnij tę formułę:$\vec{x}^{\,T}S\vec{x} = \lambda_1 c_1^2+ \cdots + \lambda_nc_n^2$
Moje wyjaśnienie:
$\vec{x}$ można zapisać jako $$ \begin{bmatrix} \vec{v}_1 & \cdots & \vec{v}_n \end{bmatrix}_{nxn} \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}_{\,nx1} = V\vec{c} $$ Rozważać, $$ \vec{x}^{\,T}S\vec{x} = \vec{c}^{\,T}(V^{\,T}SV)\vec{c} = \vec{c}^{\,T}\Lambda\vec{c} = \lambda_1 c_1^2 + \cdots + \lambda c_n^2 $$ Widzimy, że ortonormalne wektory własne $S$pomnóż, aby uzyskać ukośną macierz wartości własnej. Otrzymujemy wtedy iloczyn skalarny wektorów, czyli$c^2$ terminy, przeskalowane według ich odpowiednich wartości własnych.
Czuję się całkiem dobrze z moim wyjaśnieniem. Tylko ta część, której nie do końca rozumiem, to dlaczego$V^{\,T}SV=\Lambda$... Wydaje mi się, że powinno to być coś bardziej zbliżonego do $\Lambda^T \Lambda$ ponieważ każdy wektor własny powinien zostać przeskalowany po poprawnym pomnożeniu, ponieważ $A\vec{v} = \lambda \vec{v}$.
Czy to prawda, że $V^{\,T}SV=\Lambda$? Jeśli tak, mała pomoc w zrozumieniu, dlaczego miałoby być docenione.
Sposób, w jaki o tym myślałem.
$$ V^TSV = V^T(SV) = V^T \begin{bmatrix} \lambda_1 \vec{v_1} & ... & \lambda_n \vec{v_n} \end{bmatrix} $$ Sposób myślenia $SV$ jest to, że każda kolumna $V$ jest wektorem własnym, który mnoży kolumny $S$. Wiemy już, czemu ta kombinacja będzie równa przez definicję wektora własnego$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$. Wreszcie, gdy poprawne pomnożenie przez$V^T$ Zapamietaj to $\vec{v}_i^{\,T}\vec{v_j}=1$ jest $1$ gdy $i=j$ i $0$ gdy $i\neq j$ z definicji wektorów ortonormalnych.
Najwyraźniej skończymy $\Lambda$ jako wynik.
Odpowiedzi
Tak, to prawda $V^TSV = \Lambda$. Jest kilka sposobów, aby zrozumieć, dlaczego tak się dzieje; jednym ze sposobów jest porównanie tego, co „robi” każda macierz z wektorem-kolumną.
Pozwolić $\vec c$ oznaczają wektor kolumnowy $\vec c = (c_1,\dots,c_n)$. Zweryfikuj to$\Lambda \vec c = (\lambda_1 c_1,\dots,\lambda_n c_n)$.
Teraz rozważamy produkt $V^TSV \vec c = V^T(S(V\vec c))$. Znaleźliśmy to$$ V \vec c = \pmatrix{\vec v_1 & \cdots & \vec v_n} \pmatrix{c_1 \\ \vdots \\ c_n} = c_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \vec v_n. $$ Inaczej mówiąc, rola $V$ jest interpretacja wpisów $\vec c$ jako współczynniki wektorów $\vec v_1,\dots,\vec v_n$. Stamtąd widzimy to, ponieważ każdy$v_i$ jest wektorem własnym $S$, mamy $$ S(V\vec c) = S(c_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \vec v_n) = c_1 \lambda_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \lambda_n \vec v_n. $$ Na koniec zwróć uwagę, że (ponieważ $V$ jest ortogonalna) $V^T$ jest odwrotnością $V$. Więc tak jak$V$ interpretuje „wektor wejściowy” jako listę współczynników dla $v_i$, $V^T$ bierze wektor i podaje nam listę współczynników dla $v_i$jako jego wyjście. To jest,$$ V^T(S(V\vec c)) = (c_1 \lambda_1) \vec v_1 + \cdots + (c_n \lambda_n) \vec v_n = (c_1 \lambda_1,\dots,c_n \lambda_n). $$ Więc rzeczywiście, $V^TSV$ i $\Lambda$ opisują tę samą transformację i dlatego są tą samą macierzą.
Możemy myśleć $V^TSV$ jako zmieniona wersja $S$ gdzie zamiast myśleć o wejściach wektora (zarówno wejściowych, jak i wyjściowych) jako dosłownych współrzędnych wektora, interpretujemy je jako współczynniki naszych wektorów $v_i$. Mówimy o terminologii, którą być może słyszałeś już wcześniej$\Lambda$ jest macierzą $S$ „po zmianie podstawy”.