Definicja kategorii n
Jaka jest standardowa definicja pliku $n$-kategoria od 2020 roku? Literatura, z której mogę skorzystać, jest dość ograniczona, ale postaram się jak najlepiej wymienić to, co miałem do tej pory.
W [Lei2001] Leinster przedstawił 10 różnych definicji pliku $n$-category i nie komentował, czy są one równoważne, czy nie. W [BSP2011] autorzy ustalili aksjomaty i stwierdzili, że wszystkie (wiele?) Definicji pliku$(\infty,n)$-kategorie do tej pory spełniają swoje aksjomaty, a zatem są równoważne (do pewnego działania). Podaję tutaj te definicje dla kompletności:
- (a) kompletne n-przestrzenie Segal Charlesa Rezka,
- (b) n-krotnie pełnych przestrzeni Segal,
- c) kategorie n André Hirschowitza i Simpsona Segal,
- d) n-względne kategorie Clarka Barwicka i Dana Kana,
- (e) kategorie wzbogacone w dowolną kategorię modelu wewnętrznego, której podstawą teorii homotopii jest teoria homotopii (∞, n) -kategorii,
- (f) gdy n = 1, quasi-kategorie Boardmana i Vogta,
- (g) gdy n = 1, zaznaczone zbiory uproszczone Luriego i
- (h) gdy n = 2, skalowane zbiory uproszczone Luriego,
Jednakże wszystkie przypadki w [Lei2001] nie wydają się być pokryte, a są jeszcze tutaj . Jaka jest zasadnicza różnica między definiowaniem pliku$n$-kategoria i plik $(\infty,n)$-Kategoria?
Pytanie
Krótko mówiąc, istnieje wiele definicji dla wyższych kategorii… więc której z nich powinniśmy użyć? Czy istnieje lista wszystkich definicji i dyskusja, która jest równoważna z którą, w jakim sensie? Czy toczą się również dyskusje na temat tego, która definicja spełnia te trzy hipotezy
- hipoteza stabilizacji
- hipoteza splotu
- hipoteza kobordyzmu
postulowane w [BD1995]?
Odniesienie
- [Lei2001]: Przegląd definicji kategorii n- [Tom Leinster] - [arXiv: matematyka - 0107188]
- [BSP2011]: O jedyności teorii homotopii wyższych kategorii- [Clark Barwick i Christopher Schommer-Pries] - [arXiv: 1112.0040]
- [BD1995]: Algebra wyższych wymiarów i topologiczna teoria pola kwantowego - [John C. Baez i James Dolan] - [arXiv: q-alg - 9503002]
Związane z
- Tłumaczenie wydarzeń na różnych podstawach
Odpowiedzi
Przede wszystkim istnieją istotne różnice między pojęciami ścisłości $n$-kategoria, słaba $n$-kategoria i $(\infty,n)$-Kategoria. Najłatwiejszym pojęciem jest ścisłość$n$-kategoria i nie ma wątpliwości co do tamtej definicji : ścisła$0$-kategoria jest zbiorem i przez indukcję jest ścisłą $n$-kategoria to kategoria wzbogacona o kategorię $(n-1)$-kategorie.
Dobrze, że zacytowałeś artykuł Baeza i Dolana, który przedstawił wczesny model pojęcia słabego $n$-Kategoria. W latach 1995–2001 nastąpiło ogromne rozpowszechnienie innych modeli. Moralnie powinny to być kategorie słabo wzbogacone w kategorii słabych$(n-1)$-kategorie, ale istnieje wiele sposobów zdefiniowania słabego wzbogacenia, ponieważ istnieje wiele sposobów śledzenia wyższych komórek i ich łączenia. W 2004 roku odbyła się konferencja, podczas której próbowano zebrać wszystkich razem i ustalić podobieństwa między modelami, a które były równoważne innym. Nie doprowadziło to do tego, że wyłonił się on jako model „standardowy” i nie sądzę, abyście oczekiwali, że nastąpi to w najbliższym czasie. Jednak teraz wiemy, że modele dla słabych$n$-kategorie ogólnie dzielą się na dwa obozy. Wikipedia ładnie to mówi :
Istnieją zasadniczo dwie klasy teorii: te, w których komórki wyższe i składy wyższe są realizowane algebraicznie (przede wszystkim teoria słabych wyższych kategorii Michaela Batanina) i te, w których stosuje się bardziej modele topologiczne (np. Wyższa kategoria jako zbiór uproszczony spełniający niektóre właściwości uniwersalności).
Wikipedia podaje również, że „Podano kilka definicji, a mówienie, kiedy są one równoważne iw jakim sensie, stało się nowym przedmiotem badań w teorii kategorii”. To zgadza się z moim rozumieniem pola w obecnym stanie. Myślę, że teoria wyższych kategorii jest zainteresowana pytaniami o wiele modeli dla słabych$n$-kategorie. To różni się od badania$(\infty,n)$-kategorie, które są bardziej umiejscowione w teorii homotopii.
Teraz inni mogą przyjść i powiedzieć „$(\infty,n)$-kategorie są właściwe ", ponieważ MathOverflow ma większą reprezentację teoretyków homotopii niż teoretyków wyższych kategorii. To samo możesz poczuć czytając nLab, ponownie w oparciu o to, kto tam pisze. Ale jeśli wybierzesz się na spotkanie do Sydney w Australii, tam, gdzie teoria wyższych kategorii żyje i ma się dobrze, nie usłyszysz, jak ludzie mówią $(\infty,n)$-kategorie to „właściwy” model lub twierdzenie o jedności $(\infty,n)$-kategorie rozwiązuje problem z 2004 r. polegający na ustaleniu, które modele są słabe $n$-kategorie są równoważne.
Trwają również liczne prace związane z hipotezą stabilizacji, hipotezą splątania i hipotezą kobordyzmu w różnych modelach słabych $n$-kategorie. Na przykład Batanin niedawno udowodnił hipotezę stabilizacyjną dla modelu Rezka opartego na$\Theta_n$-spaces. Następnie Batanin i ja daliśmy kolejny dowód, który dotyczy całej klasy definicji słabości$n$-kategorie, w tym model Rezka. Już w 1998 roku Carlos Simpson udowodnił hipotezę stabilizacyjną dla definicji słabych n-kategorii podanej przez Tamsamaniego. Gepner i Haugseng udowodnili hipotezę stabilizacji$(\infty,n)$-kategorie i rodzaj słabego wzbogacenia, które uzyskasz, korzystając z pracy doktorskiej Haugsenga (na temat wzbogaconego $\infty$-kategorie). Oczywiście Lurie napisał tysiące stron, aby udowodnić hipotezę kobordyzmu$(\infty,n)$-category, a Ayala i Francis dali krótszy dowód, używając homologii na czynniki.
Jestem pewien, że brakowało mi wielu literatury i jestem pewien, że niektórzy nie zgodzą się ze mną, mówiąc „tak, nadal warto studiować modele słabych $n$-kategorie zamiast tylko studiowania $(\infty,n)$-categorie. ”Ale prosiłeś o referencje, więc oto kilka na początek.