Dlaczego pi się nie powtarza?

Question

Ok, właśnie nauczyłem się zasady Pigeonhole (PHP) i jej zastosowania z rozszerzaniem dziesiętnym.

Aby jasno wyrazić moje pytanie, muszę przekazać moje zrozumienie PHP w odniesieniu do rozszerzania dziesiętnego, więc oto ...

---

W procesie długiego dzielenia możemy otrzymać nieskończoną liczbę reszt od tego czasu $0$jest również uważana za pozostałość (zobacz, Fig 1co mam na myśli), która jest$>$skończona liczba możliwych wartości reszty (przez twierdzenie o ilorazie reszty,$0≤r<d $)

→ Przez PHP na pewno otrzymamy resztę, której wartość jest taka sama jak wartość poprzedniej reszty (na ryc. 1, otrzymujemy trafienie, gdy r ₇ = r ₁ )

→ W związku z tym w pewnym momencie sekwencja reszty będzie się powtarzać w nieskończoność

→ Ta sekwencja reszt może być zerami lub niezerami

→ Jeśli jest to ciąg zer, otrzymujemy kończące liczby dziesiętne, takie jak $2$(jak w $2.\color{red}{\overline{000}}\ldots$$... $ ) lub 3,625 $ (jak w 3,625 $ \ color {red} {\ overline {000}} \ ldots$$...$)

→ Jeśli jest to ciąg niezerowy, otrzymujemy powtarzający się dziesiętny podobny $3/14$=$0.2\color{red}{\overline{142857}}\ldots$

Moje pytanie: Dlaczego więc PI nie należy do żadnej z tych kategorii? Czy to w jakiś sposób narusza PHP ?

---

Z góry przepraszamy za zrzuty ekranu.

Rys 1:

Answer 1

Drugi krok twojego wnioskowania musi być lepiej uzasadniony. Zauważ, że w twojej konfiguracji dzielnik$d$musi być liczbą całkowitą, aby aplikacja PHP miała sens. Teraz mamy dwa przypadki.

1. Dywidenda to liczba całkowita, która jest reprezentowana jako $n.00000\ldots$. Następnie możesz użyć PHP, aby argumentować, że w części pozostałej po przecinku powtarza się. Więc masz$r_k=r_{k+n}$ dla $k,n$uzyskane po przecinku. Następnie musisz dalej argumentować, że obniżenie$0$ w $r_{k+n}$ daje okresowy wzór podziału długości $n$ stamtąd na zewnątrz, co daje ostatecznie powtarzającą się liczbę dziesiętną w twojej odpowiedzi.

2. Dywidenda nie jest liczbą całkowitą, ale dowolną liczbą rzeczywistą. W takim przypadku PHP mówi, że otrzymujesz zduplikowane pozostałości. Ale nie będziesz mógł dalej argumentować, że lista pozostałości w końcu się powtarza. Na przykład rozważ podzielenie$2$ w $0.10100100010000\ldots$ (tutaj mam $1$ śledzony przez $n$ zera dla $n=1$ do $\infty$). Twoja lista pozostałych to$0,1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0\ldots$bez powtórzeń. Jednak nawet jeśli otrzymałeś powtarzającą się sekwencję reszty, niekoniecznie oznacza to, że twoja odpowiedź jest powtarzającym się ułamkiem dziesiętnym. Na przykład rozważ dowolną liczbę rzeczywistą$x$, reprezentowane jako ułamek dziesiętny $a_0.a_1a_2a_3\ldots$. Wykonaj trywialny długi podział$1$ w $x$. Otrzymasz resztę$0$ za każdym razem, ale sekwencja dziesiętna w ilorazie nie musi (ostatecznie) się powtarzać.

A teraz co do $\pi$, musi pasować do drugiego przypadku , ponieważ jeśli zaczynasz swoje długie dzielenie od dzielnika i dzielnika będącego liczbami całkowitymi, to już obliczasz liczbę wymierną.

Answer 2

$\pi$jest liczbą transcendentalną, a nie racjonalną. Wydaje się, że argument PHP odnosi się do liczb wymiernych.

Answer 3

Założyłeś, że potrafisz obliczyć $\pi$ przez podzielenie jednej liczby o znanej, skończonej liczbie cyfr, przez inną liczbę o znanej, skończonej liczbie cyfr.

To jest właśnie definicja tego, co oznacza racjonalność liczby. I rzeczywiście, twój argument jest poprawnym dowodem na to, że dziesiętna reprezentacja dowolnej liczby wymiernej się powtarza.

Ale $\pi$nie jest racjonalne. Nie można go obliczyć, dzieląc jedną liczbę ze znaną, skończoną liczbą cyfr, przez inną liczbę o znanej, skończonej liczbie cyfr.