Dwustronne ideały $M_n(k)$

Question

J. Milne w swoich notatkach z Class Field Theory pokazuje następujący przykład.

Mogę to udowodnić $M_n(k)$ jest prosta $k$-algebra pokazując, że ideał generowany przez jakąkolwiek macierz jest konieczny $M_n(k)$sama w sobie, ale nie rozumiem argumentu Milne'a. Gdyby$J$jest niezerowym ideałem, to z pewnością musi zawierać minimalny lewy ideał i minimalny prawy ideał. Jak mogę zakończyć argument Milne'a, aby to udowodnić$J=M_n(k)$?

PS: GT 7.15a nie ma na ten temat żadnych informacji.

Answer 1

Wydaje mi się, że istnieje olbrzymia przepaść między treścią omawianą przed zwrotem „wynika z tego” a stwierdzeniem po niej. Dyskusja sugeruje, że ideał musi zawierać lewy i prawy ideał tego typu, ale nie jest oczywiste, dlaczego miałoby to oznaczać cały pierścień.

Najbliższą rzeczą, jaką widzę, jest to: użyj niezerowego elementu ideału i prawidłowego mnożenia, aby uzyskać niezerowy element z dokładnie jedną niezerową kolumną j. W rozmowie ideał musi zawierać$L(\{j\})$. Używając więcej prawidłowych mnożeń, musi zawierać$L(\{i\})$dla wszystkich pozostałych indeksów. Dlatego zawiera ich sumę, czyli cały pierścień.

Ale wszystko to zależy od wyjaśnienia wiersza, który zawiera słowo „arbitralny”. Najwyraźniej ma to wskazywać, że można uzyskać dowolny wektor kolumnowy, wybierając odpowiedni$A$ale to zasługuje na więcej wyjaśnień, niż zostało to podane.