Gdzie kończy się integracja?

Question

Jestem nowy w całkach. Rozwiązuję$$ \int \frac{1}{2x^2+6}$$ ale mam złą odpowiedź: $$ \frac{1}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$ Prawidłowa odpowiedź powinna brzmieć: $$ \frac{\sqrt3}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$ Oto moja pełna próba: $$ \int \frac{1}{6(\frac{2x^2}{6}+1)} = \int \frac{1}{6(1+(\frac{x}{\sqrt3})^2)} = \frac{1}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$ Czy możesz mnie poprawić i dać mi jakieś źródło wiedzy?

Z góry dziękuję!

Answer 1

Masz rację aż do (włącznie) kroku:

$${=\int \frac{1}{6\left(1 + \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2\right)}dx}$$

Błędnie stosujesz ten fakt

$${\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan(x)+c}$$

Zauważ, że tak musi być ${1+x^2}$- nie ${1+ax^2}$. Zamiast tego powinieneś dokonać zamiany${u=\frac{x}{\sqrt{3}}}$ dostać

$${=\frac{\sqrt{3}}{6}\int\frac{1}{1+u^2}du=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan(u)+c=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+c}$$

Jako wymagane.

Answer 2

Dany, $$\int \frac{1}{2x^2+6}$$

Wiemy to,$$\int{\frac{1}{a^2+u^2}}dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}(\frac{u}{a})+c$$

Więc,

$$\int \frac{1}{6(\frac{2x^2}{6}+1)}dx $$ $$= \int \frac{1}{6(1+(\frac{x}{\sqrt3})^2)}dx$$ Tutaj,$a=1$ i $u=\frac{x}{\sqrt3}$ i $du=\frac{dx}{\sqrt3}$,

to znaczy, $dx={\sqrt3}du$

Tak więc nasza pożądana odpowiedź brzmi:

$$\bbox[5px,border:2px solid red]{\frac{\sqrt3}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}}$$

Answer 3

$$\int \frac{1}{2x^2+6}dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+3}dx$$

$$x = \sqrt{3}\tan{\theta}\Rightarrow dx = \sqrt{3}\sec^2{\theta}d\theta$$

Ponowne podłączenie podstawienia do całkowitych plonów

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\int \frac{\sec^2{\theta}}{3\tan^2{\theta}+3}d\theta = \frac{\sqrt{3}}{6}\int \frac{\sec^2{\theta}}{\sec^2{\theta}}d\theta$$

Więc teraz pozostaje nam

$$\frac{\sqrt3}{6}\theta +c$$

Ponieważ jest to całka nieoznaczona, musimy zapisać naszą odpowiedź w postaci x. Patrząc wstecz na nasze podstawienie i przestawianie dla theta, dochodzimy do naszej ostatecznej odpowiedzi:

$$\frac{\sqrt3}{6}\tan^{-1}(\frac{x}{\sqrt{3}})+c$$

Answer 4

Twój problem leży w ostatecznej równości. Jeśli$F(x)$ jest prymitywem $f(x)$, i jeśli $c\ne0$, a następnie prymityw $f(cx)$ będzie $\frac1cF(cx)$. Tak więc od$\arctan(x)$ jest prymitywem $\frac1{1+x^2}$, prymityw $\frac1{1+(x/\sqrt3)^2}$ będzie $\sqrt3\arctan\left(\frac x{\sqrt3}\right)$.

Answer 5

Zastąpić $x=\sqrt3\,u$ $$ \begin{align} \int\frac{\mathrm{d}x}{2x^2+6} &=\frac{\sqrt3}6\int\frac{\mathrm{d}u}{u^2+1}\\ &=\frac{\sqrt3}6\arctan(u)+C\\ &=\frac{\sqrt3}6\arctan\left(\frac{x}{\sqrt3}\right)+C\\ \end{align} $$