Granica z arctanem

Question

Muszę obliczyć inny limit, $$ \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(\frac{2}{\pi}\arctan x\right)^{\sin\left(2/x\right)}$$

Nie mam pojęcia, jak zacząć ani co robić, ponieważ nigdy wcześniej nie miałem do czynienia z arctanem w limicie.

Co mam zrobić najpierw?

Answer 1

$\lim_{x \to \pi/2} \tan x = \infty$, więc $\lim_{x \to \infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$, tak jak $\tan x$ i $\arctan x$ są odwrotnymi funkcjami dla siebie $x \in [0, \pi/2)$.

Reszta to po prostu bezpośrednia zamiana. Powinieneś wziąć:

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \right)^{\sin(0)} = \lim_{x \to \infty} 1^0 = \boxed{1}.$$

Answer 2

Po pierwsze: nie panikuj! :-)

Arcus tangens ma ładną tożsamość: $$ \arctan x+\arctan\frac{1}{x}= \begin{cases} \pi/2 & x>0 \\[4px] -\pi/2 & x<0 \end{cases} $$ Ponieważ limit jest dla $x\to\infty$, założenie nie jest restrykcyjne $x>0$, więc $$ \arctan x=\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{1}{x} $$ i ustawienie $y=1/x$, granica staje się $$ \lim_{y\to0^+}\Bigl(1-\frac{2}{\pi}\arctan y\Bigr)^{\sin2y} $$ która nie jest formą nieokreśloną, ponieważ jest $1^0=1$.