Iloczyn dwóch par NDR

Question

To jest pytanie o lemat w topologii algebraicznej Maya, twierdząc, że jeśli $(X,A)$ i $(Y,B)$ są parami NDR, więc tak jest $(X\times Y,X\times B\cup A\times Y)$.

Zgodnie z definicją $(X,A)$ jest parą NDR, jeśli istnieje mapa $u:X\to I$ i homotopia $h:X\times I\to X$ takie że $u^{-1}(0)=A$ i $h(x,0)=x$ dla wszystkich $x\in X$, $h(a,t)=a$ dla wszystkich $a\in A$ i $t\in I$, i $h(x,1)\in A$ dla wszystkich $x\in u^{-1}([0,1))$.

Przypuszczać $(h,u)$ i $(j,y)$ przedstawiać $(X,A)$ i $(Y,B)$ jako pary NDR i zdefiniuj $k:X\times Y\times I\to X\times Y$ pozwalając $$k(x,y,t)=\begin{cases} (h(x,t),j(y,tu(x)/v(y)))&\text{if }v(y)\geq u(x)\\ (h(x,tv(y)/u(x)),j(y,t))&\text{if }u(x)\geq v(y). \end{cases} $$ Rozumiemy $u(x)/v(y)=1=v(y)/u(x)$ gdyby $u(x)=v(y)=0$. Moje pytanie brzmi: jak możemy sprawdzić ciągłość$k$?

Answer 1

Musisz to pokazać $k$ jest ciągła w podzbiorach $C$ i $D$ z $X\times Y\times I$ określony przez $v(y)\ge u(x)$ i $u(x)\ge v(y)$ odpowiednio, a definicje są zgodne $C\cap D$. To wystarczy, ponieważ$C$ i $D$ są zamknięte $X\times Y\times I$. Jest też jasne, że na skrzyżowaniu pasują do siebie, więc wystarczy tylko to udowodnić$k$ jest ciągły $C$ i dalej $D$.

Dowody dla obu będą podobne, więc skoncentrujmy się na tym $C$. Myślę, że to jasne$k$ jest ciągły we wszystkich punktach z $v(y)>0$, Więc weź $P=(x_0,y_0,t_0)$ z $u(x_0)=v(y_0)=0$, to jest $x_0\in A$ i $y_0\in B$. Na pewno$h(x,t)$ jest ciągła o godz $P$, więc pytamy, czy $j(y,tu(x)/v(y))$jest również. Będzie to wynikało z ciągłości$tu(x)/v(y)$. Zwróć uwagę, że bierzemy$t_0u(x_0)/v(y_0)$ być $t_0$.

Pozwolić $U$ być sąsiedztwem $t_0$ w $I$. Dzięki ciągłości$u$ i $v$wystarczy to udowodnić $$E=\{(r,s,t):0\le r\le s\le1,0\le t\le 1,t(r/s)\in U\}$$ jest otwarty $$F=\{(r,s,t):0\le r\le s\le1,0\le t\le 1\}.$$ Z konwencji, że $0/0=1$, $$E=\{(0,0,t):t\in U\}\cup\{(r,s,t)\in F,s>0,rt/s\in U\}$$ który jest otwarty $F$.