Jądro i obraz rzutu ortogonalnego

Question

Pozwolić $X$ być przestrzenią Hilberta i $Y$ być zamkniętą podprzestrzenią, każdym wektorem $x \in X$ można jednoznacznie przedstawić jako $x=y+z$, $y \in Y$, $z \in Y^\bot$. Następnie mapa$$P_Y:X \to X, \quad P_Y(x)=y$$ nazywa się rzutem ortogonalnym w $X$ na $Y$.

Muszę to udowodnić $\text{Im}(P_Y)=Y$ i $\ker(P_Y)=Y^\bot$.

Co do obrazu: wynik wydaje się wynikać bezpośrednio z definicji: $$P_Y(x)=y \in Y \quad \forall x \in X \implies \text{Im}(P_Y)=Y.$$

Kernel: wydaje się to oczywiste, ale trudno wymyślić jakiś dowód.

Answer 1

W przypadku obrazu udowodniłeś tylko jedno ograniczenie, a mianowicie ${\rm im}(P_Y)\subseteq Y$.
Drugie ograniczenie obowiązuje, ponieważ$P_Y(y)=y$ dla każdego $y\in Y$.

W przypadku jądra po prostu napisz definicje: załóżmy, że jest to dowolne $x\in X$ jest dane, rozłóż je na $x=y+z,\ y\in Y,\ z\in Y^\perp$, następnie $$P_Y(x)=P_Y(y+z)=y$$ Więc jest to $0$ iff $y=0$ iff $x=z$ iff $x\in Y^\perp$.