Jak nazywa się ta ilość?

Question

Biorąc pod uwagę dwa wektory $X$ i $Y$ (długość $n$, próbkowany ze zmiennych losowych), jak nazywa się następująca wielkość:

$$ \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_i-y_j)^2 $$

„Wymyśliłem” wzór do ilościowego określenia wariancji między dwoma wektorami i wydaje mi się, że wzór jest albo nonsensem, albo, jeśli nie, - biorąc pod uwagę jego trywialność - dobrze znaną ilością. Wiem, że to nie jest kowariancja pomiędzy$X$ i $Y$, ale co to jest zamiast tego?

Edycja: oczywiście w kontekście prognoz z np. Danymi $X$ i przewidywania $Y$, odpowiadałoby to średniemu kwadratowi błędu (z wyjątkiem stałej normalizacji, która byłaby $\frac{1}{n}$). Zastanawiam się jednak, czy ma nazwę (i znaczenie) w kontekście statystyk. zobacz komentarz Stephana Kolassy

Answer 1

Jest to miara kwadratu dyspersji między dwoma zestawami wartości, ale nie między sparowanymi wartościami. Wątpię, czy ma imię.

Rzeczywiście nie musisz mieć takiej samej liczby plików $x$ i $y$ wartości i używając $\frac1n$ Obliczenie wariancji, możesz powiedzieć:

$$\frac{1}{mn}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n(x_i-y_j)^2\qquad \\\qquad\qquad= (\bar x - \bar y)^2 + \widehat{\text{Var}}(x) +\widehat{\text{Var}}(y)$$

a więc kombinacja kwadratu odległości między środkami dwóch zbiorów plus kwadratowa dyspersja poszczególnych zbiorów.