Jaka jest maksymalna możliwa wartość $E[X_1 X_2 X_3]$?

Question

Założyć $X_1,X_2,X_3$ są dyskretnymi zmiennymi losowymi zdefiniowanymi we wspólnej przestrzeni prawdopodobieństwa $\Omega$ i przyjmowanie wartości $\{-1,1\}$. Dalej, załóżmy, że$E[X_1]=E[X_2]=E[X_3]=E[X_1 X_2]=E[X_2 X_3]=E[X_3 X_1]=0$. Biorąc to pod uwagę, jaka jest maksymalna możliwa wartość$E[X_1 X_2 X_3]$?

Łatwo to zobaczyć $P(X_i=\pm 1)=P(X_i X_j = \pm 1)={1 \over 2}$ dla każdego $i,j \in I_3 (i \neq j)$. Ale jak mam robić dalsze postępy? Każda pomoc będzie mile widziana.

Answer 1

Pozwolić $a=E[X_1 X_2 X_3]$

Oczywiście, że tak $-1 \le a \le 1$

Po tej parametryzacji możemy zapisać wspólne prawdopodobieństwo jako

$$P(x_1,x_2,x_3)=\frac18( a \, x_1 x_2 x_3 +1)$$ co daje dodatkowe ograniczenia $$0\le P(x_1,x_2,x_3)\le 1$$ lub $0\le \frac18 (1-a) \le 1$ i $0\le \frac18 (1+a) \le 1$

Ale jest to weryfikowane przez pierwotnego kandydata na maksimum ($a=1$)

Stąd maksimum $E[X_1 X_2 X_3]=1$ który jest osiągany przez

$$P(x_1,x_2,x_3) = \frac18( x_1 x_2 x_3 +1)= \begin{cases} \frac14 & \text{if } x_1 x_2 x_3 = 1 \\ 0 &\text{if } x_1 x_2 x_3 = -1 \end{cases}$$

Answer 2

Niech będą cztery stany, każdy z prawdopodobieństwem $1 \over 4$: $(X_1,X_2,X_3)\in \{(1,-1,-1),(1,1,1),(-1,-1,1),(-1,1,-1)\}$.

Możesz sprawdzić, czy warunki są spełnione. Jednak,

$$E(X_1X_2X_3)=1,$$

co jest najwyraźniej najwyższą wartością, jaką może przyjąć to wyrażenie.