Jaki element $\text{End}(V)$ odpowiada ślad?

Question

Tło:

Pozwolić $V$ być przestrzenią wektorową nad polem $k$. Pozwólcie, że opiszę kilka różnych map kanonicznych, które skomponujemy w pytaniu.

• Istnieje kanoniczna mapa dwuliniowa $V \times V^* \to \text{End}(V)$ wysyłanie $v , \varphi \mapsto [w \mapsto \varphi(w) v]$, więc uniwersalna właściwość iloczynu tensorowego daje liniową mapę $\Phi: V \otimes V^* \to \text{End}(V)$. Gdyby$V$jest skończony wymiar (fd), to jest izomorfizm. Jego podwójna mapa$\Phi^* : \text{End}(V)^* \to (V \otimes V^*)^*$ jest więc również izomorfizmem.
• Gdyby $W$ jest inny $k$-przestrzeń wektorową i istnieje kanoniczna mapa dwuliniowa $V^* \times W^* \to (V \otimes W)^*$ wysyłanie $\varphi , \psi \mapsto [v \otimes w \mapsto \varphi(v)\psi(w)]$. Znowu, jeśli$V$ i $W$Jeśli są fd, mapa indukowana jest również izomorfizmem. W szczególnym przypadku, gdy$W = V^*$ ($V$ fd), nazwijmy ten izomorfizm $\Psi: V^* \otimes V^{**} \to (V \otimes V^*)^*$.
• Istnieje mapa kanoniczna $V \to V^{**}$ wysyłanie $v \mapsto \text{eval}_v$. Znowu kiedy$V$ czy fd ta mapa jest izomorfizmem, stąd otrzymujemy izomorfizm $\Theta: V^* \otimes V \to V^* \otimes V^{**}$.
• Wreszcie, aby być całkowicie pedantycznym, istnieje izomorfizm kanoniczny $\Gamma: V \otimes V^* \to V^* \otimes V$ podane przez zamianę kolejności prostych tensorów.
• Tworząc mapy (przypadek fd), mamy izomorfizm kanoniczny$F : \text{End}(V) \to \text{End}(V)^*$:

$$ \text{End}(V) \overset{\Phi^{-1}}{\longrightarrow} V \otimes V^* \overset{\Gamma} {\longrightarrow} V^* \otimes V \overset{\Theta}{\longrightarrow} V^* \otimes V^{**} \overset{\Psi}{\longrightarrow} (V \otimes V^*)^* \overset{(\Phi^*)^{-1}}{\longrightarrow} \text{End}(V)^*$$

• W przypadku fd istnieje specjalny element $\text{End}(V)^*$, a mianowicie ślad . Jako element$(V \otimes V^*)^*$ jest określony przez skurcz tensorowy: $\Phi^*(\text{tr})(v \otimes \varphi) = \varphi(v)$.

Rzeczywiste pytanie :

Wydaje się, że powinno to być całkowicie oczywiste, ale jestem trochę zakłopotany! Co za cholerny element$\text{End}(V)$ czy ślad odpowiada pod izomorfizmem $F$? czyli co jest$F^{-1}(\text{tr})$? A właściwie, skoro już przy tym jesteśmy (a może po drodze), co jest$\Psi^{-1}(\Phi^*(\text{tr}))$? Dziwnie jest mieć wyróżniający się element$V^* \otimes V^{**}$. Cóż, przypuszczam, że obraz$1_V \in \text{End}(V)$ wyróżnia się też ... Hm.

Answer 1

Jak mówisz, jedyny wyróżniony element $\text{End}(V)$ jest $\text{id}_V$i to właśnie dostajesz. Nie sprawdzałem, ale powinieneś być w stanie to zweryfikować, pisząc wszystko jako podstawę$e_i$ z $V$ i odpowiednią podwójną podstawę $e_i^{\ast}$ z $V^{\ast}$. Dostajesz

$$\text{id}_V = \sum_{i=1}^n e_i \otimes e_i^{\ast}.$$