Jest $S^1$ stożek $D^2$?

Question

Pozwolić $X$ być przestrzenią topologiczną, niech $Y=X \times [0,1]$ i $A=X \times \left \{ 0 \right \} \subset Y$. stożek na X to przestrzeń$\left \{ X \times [0,1] \right \}/\left \{ X \times \left \{ 0 \right \} \right \}$.

Teraz pozwól $X=S^1$, moim celem jest udowodnienie, że stożek jest włączony $X$ jest homeomorficzny do $D^2$, gdzie $D^2$ jest jednostkowym zamkniętym dyskiem w formacie $\Bbb R^2$. Zasadniczo ten stożek jest uzyskiwany z cylindra przez skurczenie dolnej podstawy do punktu.

Korzystając ze współrzędnych biegunowych, możemy stworzyć mapę $f: \left \{ X \times [0,1] \right \}/\left \{ X \times \left \{ 0 \right \} \right \} \rightarrow D^2$ zdefiniowana jako $f(\theta, \rho)= \rho(\cos \theta, \sin \theta)$.
Ta mapa jest ciągła, iniekcyjna i surjektywna, ale jak udowodnić, że jest to homeomorfizm?

Answer 1

Pokazywać $f$ jest homeomorfizmem bez użycia zwartości, możesz jawnie skonstruować odwrotność $f$, a mianowicie $$ g(x, y) = [t(x, y), \sqrt{x^2 + y^2}] $$ gdzie nawiasy oznaczają klasę równoważności, a $$ t(x, y) = \begin{cases} 0 & (x, y) = (0,0) \\ \frac{\pi}{2} & x = 0, y > 0\\ \frac{3\pi}{2} & x = 0, y < 0\\ \arctan(y/x) & x > 0 \\ \pi + \arctan(y/x) & x < 0 \end{cases} $$ gdzie każdą z tych wartości należy traktować jako liczbę (mod $2\pi$), stąd element $S^1$.

Ciągłość $g$ jest dość wyraźny wszędzie z wyjątkiem wzdłuż $y$-oś. W tym przypadku musisz to pokazać$g^{-1}(U)$ jest otwarta zawsze $U$ jest otwarty w domenie, co będzie oznaczało zapisanie sposobu opisania otwartych zbiorów w ilorazie, co jest utrapieniem, ale możesz to zrobić.