Mapowanie $f(z)$

Question

Niech funkcja $f$ być analityczne w płaszczyźnie zespolonej, rzeczywiste na osi rzeczywistej, 0 w początku, a nie identycznie zero.

Udowodnij, że jeśli $f$ odwzorowuje wyimaginowaną oś na prostą, zatem ta prosta musi być osią rzeczywistą lub osią urojoną.

Mój wysiłek: $f(z)$ jest analityczny iff $g(z)= \overline{f(\bar z)}$ jest również analityczny.$f(z)$ pokrywa się z $g(z)$na rzeczywistej osi. Rozważ sekwencję${1/n}$zbiega się do zera. Teraz, używając twierdzenia o tożsamości, możemy podsumować$f(z)=g(z)$ nad złożoną płaszczyzną. $g(z)$ odwzorowuje urojoną oś na urojoną oś i tak jest $f(z)$. Nie rozumiem kiedy$f$ odwzorowuje wyimaginowaną oś na rzeczywistą.

Answer 1

Pozwolić $k \ge 1$ rząd zera $f$u źródła; przez lokalną postać funkcji analitycznej w$0$a mianowicie $f(z)=cz^k+O(z^{k+1}), c \ne 0$, wynika z tego natychmiast $f$ przekształca kąt $\theta$ między dowolnymi dwoma krzywymi przechodzącymi przez początek, do kąta $k\theta$ (w szczególności $f$ jest konformalny na początku właśnie dla $k=1$)

Ponieważ kąt między osią rzeczywistą i urojoną wynosi $\pi/2$, kąt między ich obrazami wynosi $k\pi/2$, więc hipoteza urojonej osi jest wysyłana do linii, która tworzy $k\pi/2$ kąt z osią rzeczywistą dla jakiejś liczby całkowitej $k \ge 1$ i są tylko dwie takie linie, urojona i rzeczywista oś w zależności od tego $k$ jest nieparzysta lub parzysta, więc skończyliśmy.

$z^2, z^4$ są przykładami, które spełniają hipotezę i gdzie urojona oś jest wysyłana do osi rzeczywistej (chociaż w jednym przypadku oba obrazy są rozłączne, z wyjątkiem tego, że w punkcie zero są dwie półproste, aw drugim pokrywają się - zauważ, że obraz rzeczywistej lub wyimaginowana oś pod $f$ może nie znajdować się w pełnej linii, którą też jest wysyłany), a $z$ jest przykładem, w którym jest wysyłany do siebie