Mylisz się co do produktu Tensor modułów R.

Dec 31 2020

W książce Tu o geometrii różniczkowej po raz pierwszy definiuje $Free(V\times W)$ tak jak:

$$\sum r_i(v_i, w_i), r_i \in R, (v_i, w_i) \in V \times W$$ gdzie suma jest skończona.

Rozumiem, że powyższa konstrukcja ma formalne kombinacje i zapomina o rzeczywistej strukturze modułów. Innymi słowy, jeśli$v_1+v_2 = v_3$, to nieprawda, że ​​w $Free(V\times W)$ że $(v_1, 0) + (v_2, 0) = (v_3, 0)$

Teraz, aby utworzyć iloczyn tensorowy, przez podmoduł $S$ rozpięte na elementy formularza: $$ (v_1 + v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w)\\ (v,w_1 + w_2) - (v, w_1) - (v, w_2)\\ (rv,w) - r(v,w)\\ (v, rw) - r(v,w)$$ Następnie mamy mapę od iloczynu do iloczynu tensora, $$(v,w) \rightarrow v\otimes w$$

Jeśli jednak $v_3 = v_1 + v_2$, to nie mogę tego pokazać $$v_3\otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w$$ co powinno mieć miejsce, jeśli $\otimes$jest modułową bilinearną mapą homomorfizmu .

Odpowiedzi

1 azif00 Dec 31 2020 at 02:03

Od $V \otimes W := \operatorname{Free}(V \times W)/S$ i $\otimes : V \times W \to V \otimes W$ jest zdefiniowany przez $$(v,w) \mapsto v \otimes w := (v,w)+S,$$ warunek $(v_1 + v_2, w) - ((v_1, w) + (v_2, w)) \in S$ mówi nam to $$(v_1 + v_2, w)+S = ((v_1, w) + (v_2, w))+S = ((v_1,w)+S) + ((v_2,w)+S)$$ który jest taki sam jak $(v_1 + v_2) \otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w$. Zauważ też, że inne relacje, które definiują$S$ daje nam \begin{align} v \otimes (w_1+w_2) &= v \otimes w_1 + v \otimes w_2, \\ (rv) \otimes w &= r(v \otimes w), \\ v \otimes (rw) &= r(v \otimes w).\end{align}


Przypomnij sobie, że jeśli $M$ jest $R$-moduł i $S$ jest podmodułem $M$, iloraz $M/S$ jest zdefiniowany przez $M/\!\sim$, gdzie $$(\forall u_1,u_2 \in U) \quad u_1 \sim u_2 \iff u_1-u_2 \in S.$$ W tym przypadku klasa równoważności $m \in M$ jest dany przez $m+S := \{m+s : s \in S\}$ (W związku z tym $m+S = m'+S \iff m-m' \in S$) i definiujemy plik $R$-konstrukcja modułu w $M/S$ przez $$(\forall m,m' \in M)(\forall r \in R) \quad r(m+S)+(m'+S) := (rm+m')+S.$$

Jeff Dec 31 2020 at 12:10

Dlatego dla potomności chcę napisać odpowiedź dla innych, którzy mogą mieć to samo zamieszanie. Jak wyjaśnił @KCd, elementy$Free(V\times W)$ mają formę,

$$\sum r_i(v_i, w_i)$$

Jeśli jednak napiszemy konkretny element $Free(V\times W)$ tak jak $r_1(v_1 + v_2, w_1)$ i $v_3 = v_1 + v_2$ następnie $$r_1(v_1 + v_2, w_1) = r_1(v_3, w_1)$$ Innymi słowy, wewnątrz naszych nawiasów w naszej notacji nie bierzemy formalnych sum, ale zamiast tego łączymy elementy modułu w normalny sposób.