Norma operatora hermitowskiego

Question

Chcę udowodnić następujący wynik wspomniany w Sadri Hassani: -

Pierwsza nierówność, tj. $|\langle Hx|x\rangle| \le ||H||\ ||x||^2 = ||H||$wynika prosto z definicji normy operatora. W przypadku nierówności odwrotnej autor wspomniał o następującej procedurze.

Nie mogę dowiedzieć się, w jaki sposób uzyskali nierówność, korzystając z powyższego wyniku. Myślę też, że wynik dla$4\langle Hx|y\rangle $ powinien mieć $-i$ zamiast $i$ w równości.

Answer 1

Z podanymi opcjami $x$ i $y$, masz to $\langle Hx,y\rangle\in\mathbb R$, więc równość sprowadza się do $$ 4\langle Hx,y\rangle=\big(\langle H(x+y),x+y)\rangle-\langle H(x-y),(x-y)\rangle\big). $$ Również, $\|x\|=\|y\|=\|Hz\|^{1/2}\,\|z\|^{1/2}$. Następnie, korzystając z tożsamości równoległoboku,\begin{align} 4\|Hz\|^2&=4\langle Hx,y\rangle\\[0.3cm] &\leq M\|x+y\|^2+M\|x-y\|^2\\[0.3cm] &=2M(\|x\|^2+\|y\|^2)\\[0.3cm] &=4M\|Hz\|\,\|z\|. \end{align}