O definicji teorii A.
A-teoria Waldhausena jest wersją algebraicznej K-teorii przestrzeni. Konkretnie, dla (spiczastej) przestrzeni$X$uważa, że „kategoria Waldhausen” $\mathcal R_f(X)$ skończonych retrakcyjnych kompleksów CW $X$, stosuje jego $S_{\bullet}$ konstrukcja do niej i uzyskuje nieskończoną przestrzeń pętli, $A(X)$. Funktor$A$ jest niezwykle ważne w wielowymiarowej topologii geometrycznej, na przykład odgrywa istotną rolę w definicji $Wh^{\text{Diff}}(X)$i w parametryzowanym $h$- twierdzenie o kobordyzmie Waldhausena, Jahrena i Rognesa.
Od jakiegoś czasu w to wierzyłem $A(X)$ można było opisać (używając nowoczesnych maszyn, które nie były dostępne, gdy Waldhausen rozwinął swoją teorię) jako $K$-teoria widma pierścienia $\sum^{\infty}_+ \Omega X$odpowiednio zinterpretowane.
W tym tygodniu dowiedziałem się, że chociaż może to działać, aby zrozumieć podłączone komponenty, nie daje właściwego opisu $\pi_0$: dla każdej podłączonej przestrzeni $X$, $\pi_0A(X)$ jest po prostu $\mathbb Z$, podana przez względną charakterystykę Eulera dla względnego kompleksu komórek. Ponadto mapa kanoniczna$A(X) \to K(\mathbb Z\pi_1(X))$ wywołuje mapę kanoniczną $\mathbb Z \to K_0(\mathbb Z\pi_1(X))$ na połączonych komponentach, a kernel tej mapy to $\tilde{K}_0(\mathbb Z \pi_1)$, co często jest nietrywialne. (Zobacz niedrożność skończoności Wall'a).
Więc moje pytanie jest następujące: może $A$- teoria została zdefiniowana w kategoriach nieskończenie zdominowanych w przeciwieństwie do skończonych względnych kompleksów CW, a zatem to, co uważałem, faktycznie jest aktualne? Musimy tylko pamiętać, że jest taka różnica$\pi_0$ale poza tym wszystko w porządku? A może dzieje się coś bardziej istotnego?
Przepraszam, jeśli to pytanie jest może raczej niejasne, ale czuję, że nie tylko ja mogę być tym zdziwiony ...
Odpowiedzi
Ponieważ pytanie pozostaje bez odpowiedzi, pozwolę sobie skopiować komentarz Toma Goodwillie:
Jeśli dopuścisz skończoną dominację zamiast skończonej, zmieni się tylko π0. Analogicznie, przy definiowaniu K (R), jeśli używasz nieskończenie generowanych modułów rzutowych zamiast swobodnych, zmienia się tylko π0. Uważam, że jest to omówione gdzieś w dużym artykule założycielskim Waldhausena. A w książce EKMM omawiany jest odpowiedni problem dotyczący widm łączących pierścieni.
Bardziej szczegółowo, dla $X$ przestrzeń połączona to (∞-) kategoria doskonałości $\mathbb{S}[\Omega X]$-moduły to kategoria Spaniera-Whiteheada należąca do kategorii nieskończenie zdominowanych retrakcyjnych kompleksów CW nad $X$i dlatego ma tę samą algebraiczną K-teorię. Ograniczenie do skończonych retrakcyjnych kompleksów CW$X$ odpowiada przyjęciu stabilnej podkategorii ideału $\mathbb{S}[\Omega X]$-moduły generowane przez wolne w ramach colimit, a więc zgodnie z twierdzeniem Waldhausena o współrzędności po prostu zastępuje $\pi_0$ z $\mathbb{Z}$.
Jest to szczegółowo omówione w wykładzie 21 kursu Jacoba Luriego Algebraiczna K-teoria i rozmaitość topologii . Zwróć uwagę w szczególności na Ostrzeżenie ~ 9, gdzie Lurie zauważa, że jego definicja teorii A różni się od „tradycyjnej” tylko$\pi_0$.