oczekiwana wartość próbki

Question

Załóżmy, że mamy dystrybucję zawierającą, powiedzmy, plik PDF $f(x)= 4(3-x^3)$ dla $0<x<2$, i $0$gdzie indziej. Jestem w stanie znaleźć$E(X)$ i $Var(X)$ używając standardowej definicji wartości oczekiwanej (tj. całki $xf(x)$) i wariancji. Ale przypuśćmy, że otrzymujemy, powiedzmy, próbę losową jakiejś wielkości$15$, została uzyskana z tego rozkładu, więc ta próbka sama w sobie będzie miała średnią, a problemem jest znalezienie oczekiwanej wartości średniej próbki. Początkowo myślałem, że oczekiwana wartość i wariancja średniej próbki będą po prostu$E(X)$ i $Var(X)$ odpowiednio, ale nie jestem pewien, czy wielkość próby będzie miała wpływ na średnią i wariancję próby.

Moje zapytanie dotyczy tego, czy oczekiwana wartość przykładowej średniej jest taka sama jak $E(X)$ niezależnie od wielkości próby, a jeśli nie, jakie jest podejście do określenia oczekiwanej wartości średniej próby z uwzględnieniem wielkości próby.

Dziękuję Ci.

Answer 1

Przyjmij to założenie $X_1,\dots,X_n\overset{iid}{\sim} \text{Distribution}$ mieć środek $\mu$ i wariancja $\sigma^2$. Plik$\text{Distribution}$ nie musi być normalne (choć mogłoby być).

Podałem pełne wyprowadzenia. Sugeruję, aby przewijać w dół jeden wiersz na raz i próbować przewidzieć mój następny wiersz, abyś mógł sam to udowodnić.

OZNACZAĆ

$$\mathbb{E}\big[\bar{X}\big] =\mathbb{E}\Bigg[\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\Bigg]$$

$$=\dfrac{1}{n}\mathbb{E}\Bigg[\sum_{i=1}^n X_i\Bigg]$$

$$=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathbb{E}\big[ X_i\big]$$

$$= \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mu$$

$$=\dfrac{1}{n} n\mu$$

$$=\mu$$

ZMIENNOŚĆ

$$Var\big(\bar{X}\big) = Var\Bigg(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\Bigg)$$

$$=\dfrac{1}{n^2}Var\Bigg(\sum_{i=1}^n X_i\Bigg) $$

$$=\dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n Var\big(X_i\big) $$

$$=\dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \sigma^2 $$

$$=\dfrac{1}{n^2}n \sigma^2 $$

$$=\dfrac{\sigma^2}{n} $$

UWAGA : NIE jest to dowód centralnego twierdzenia granicznego.