permutacja zbiorów
Mam pytanie odnośnie permutacji zbiorów i jest to:
Problem: pozostaw przestrzeń próbki$X$ być zbiorem permutacji $\{1,2,3,4,5\}$, permutacja $\{n_1,n_2,n_3,n_4,n_5\}$ reprezentuje alokację obiektu, gdzie dla $i,j\in \{1,2,3,4,5\}$ mamy $n_i=j$ jeśli osoba $i$ odbiera przedmiot osobiście $j$. Ponadto$i\in \{1,2,3,4,5\}$. Jeśli zdefiniujemy zdarzenia:
$$A_i=\{(n_1,n_2,n_3,n_4,n_5)\in X\space |\space n_i=i\}$$
Moje nieporozumienia: nie rozumiem, jak wymienić te elementy w ramach zdefiniowanego zestawu cech elementów, które ten zestaw ma na przykład w przestrzeni próbki$X$, mogą $n_1=1, n_2=2,n_3=3,n_4=4, n_5=5?$
Jeśli nie, to wartości $n_1$, $n_2$, ... może wziąć $n_1=2,3,4,5; n_2=1,3,4,5; ...$ itd. Zatem jednym z możliwych elementów przestrzeni próbkowania jest $(2,3,4,5,1)\in X?$.
Ale w zestawie $A_i,$ teraz jest nowy stan $n_i=i$, to znaczy zestaw $A_1=\{(1,1,1,1,1)\}?$. Jestem trochę zdezorientowany co do definicji$n_i=i$ w zestawie $A_i,$ i ile elementów $A_1, A_2,...,A_5$zawiera. Czy ktoś może mi pomóc wyjaśnić lub znaleźć elementy zestawu$A_i$lub po prostu przykład dla$ A_1$ i $A_2?$ Doceniłbym to.
Odpowiedzi
Używając definicji permutacji jako funkcji bijektywnej ze zbioru do siebie samego ( zamiast powiązanej definicji ciągów znaków, które każdy znak jest użyty raz itd. ), Mamy to$A_1$ jest zbiorem permutacji $\{1,2,3,4,5\}$ takie że $1$ jest zmapowany do $1$.
Równoważnie, używając definicji permutacji jako ciągów znaków, zamiast tego $A_1$ jest zbiorem permutacji $\{1,2,3,4,5\}$ takie że $1$ jest na pierwszym miejscu.
Obejmuje to między innymi $12345, 13524, 15243,\dots$ i nie obejmuje takich rzeczy jak $23451$ lub $54321$ od $1$ nie jest na pierwszym miejscu i dalej nie obejmuje takich rzeczy jak $11111$ lub $67890$ ponieważ nie są to permutacje $\{1,2,3,4,5\}$( pierwszy nie jest permutacją, ponieważ każdy znak może być użyty tylko dokładnie raz, a drugi nie powiódł się, ponieważ użyte znaki nie pochodzą z prawidłowego zestawu podstawowego. równoważnie, pierwszy nie był bijektywny, a drugi miał niewłaściwą kodomenę ).
Warto wtedy porozmawiać o takich rzeczach jak $A_1\cap A_2$czyli te permutacje, które jednocześnie mają pierwszy i drugi wyraz jako punkty stałe ... zawierające takie rzeczy$12345, 12543, 12453,\dots$, pierwsza pozycja musi być $1$ a druga pozycja musi być $2$.
Warto też się temu przyjrzeć $A_1^c$, zbiór permutacji takich, że $1$jest nie stały punkt.
Wreszcie, spore znaczenie ma zestaw $A_1^c\cap A_2^c\cap A_3^c\cap A_4^c\cap A_5^c$, zestaw permutacji na $\{1,2,3,4,5\}$tak, że żaden z elementów nie jest punktami stałymi. Nazywamy permutację bez stałych punktów zaburzeniem .
A jeśli chodzi o ich liczenie $|A_1|, |A_1\cap A_2|\dots$Podejdź bezpośrednio z zasadą produktu jak zwykle. W przypadku pozycji, których wartości nie są wymuszone, wybierz, który element pojawia się na tej pozycji i zwróć uwagę, ile opcji podałeś wcześniej przy takich wyborach. Masz to$|A_1|=4!$ że $|A_1\cap A_2|=3!$ i tak dalej.
Te obserwacje w połączeniu z włączeniem-wykluczeniem pozwolą ci nawet obliczyć liczbę nieprawidłowości, coś, co zostawiam Tobie do samodzielnego zakończenia lub do przeczytania w powiązanym artykule. Dość mocno podejrzewam, że obliczenie liczby zaburzeń może być nawet późniejszą częścią aktualnego pytania, nad którym pracujesz, lub pytaniem, które zostanie zadane wkrótce po ukończeniu tego, ponieważ są one tak blisko powiązane.
Nie, zauważ to $i$jest definiowana poza charakterystyką zbioru. To znaczy$i$jest ustalona dla każdego zestawu. Więc$$A_1=\{\color{red}{1},2,3,4,5),(\color{red}{1},2,3,5,4),(\color{red}{1},2,4,3,5),\cdots\}.$$
Zwróć też uwagę, że krotka musi być w formacie $X,$ i $(1,1,1,1,1)$nie jest permutacją.
Nie jest jasne, czy przez permutację masz na myśli, że musisz użyć każdego elementu w$\{1,2,3,4,5\}.$ Jeśli tak, otrzymasz $(5-1)!$ jako liczba elementów w $A_1$ ponieważ naprawiasz pierwszy, a potem masz $4$ wybory na drugą, a potem $3$wybory ...
Jeśli pozwolisz na powtórzenie, będziesz miał$5$ wybory w każdym z pozostałych $4$ pozycje, więc skończysz mając $5^4$ elementy w $A_1.$