Pokazują, że $\int_0^\infty {1\over{x^4+1}}\,dx=\int_0^\infty {x^2\over{x^4+1}}\,dx$ [Zamknięte]

Dec 14 2020

Czy ktoś mógłby mi podpowiedzieć, jak to pokazać $$\int_0^\infty {1\over{x^4+1}}\,dx=\int_0^\infty {x^2\over{x^4+1}}\,dx?$$

Wiem, jak zrobić osobno obie całki, ale to pytanie prowadzi do innego sposobu ich oceny i wymaga pokazania tego najpierw. W związku z tym chcę pokazać równoważność, manipulując całką zgodnie z zamiarem pytania, zamiast oceniać obie oddzielnie.

Próbowałem pracować z obiema stronami i czuję, że przegapiłem sztuczkę. Użycie całkowania przez części zwiększa moc mianownika i nie ma żadnego ładnego anulowania (z wyjątkiem niepowiązanej formuły redukcji). Nie widzę też świetnej zmiany.

Odpowiedzi

10 MarkViola Dec 14 2020 at 01:22

Zauważ, że wymuszając podstawienie $x\mapsto 1/x$, znaleźliśmy

$$\begin{align} \int_0^\infty \frac{1}{1+x^4}\,dx&\overbrace{=}^{x\mapsto 1/x}\int_\infty^0 \frac1{1+1/x^4}\,\left(-\frac1{x^2}\right)\,dx\\\\&=\int_0^\infty \frac{x^2}{1+x^4}\,dx \end{align}$$

Gotowe!

4 marlasca23 Dec 14 2020 at 01:22

Zasadniczo chcesz to udowodnić

$$\int_0 ^\infty \frac{1-x^2}{1+x^4} dx = 0$$

Rozważ całkę w $(1,\infty)$interwał. Stosowanie zmiany zmiennych$y = 1/x$ dostajemy

$$\int_0 ^1 \frac{1-x^2}{1+x^4}dx - \int_0^1 \frac{1-y^2}{1+y^4} dy = 0$$

co jest oczywiście prawdą.