Pytanie o główny ring

Question

Jestem studentem matematyki. Po prostu mylę się co do jakiejś podstawowej koncepcji, więc proszę o to tutaj ...

Po pierwsze ideał główny oznacza ideał wygenerowany przez pojedynczy element, ale nie wiem, co oznacza „wygenerowany”. Jak definiuje się „wygenerowany”?

Widziałem kilka przykładów w książce Dummita, a mówią: „Trywialny ideał 0 i idealne R są zarówno główne: 0 = (0) i R = (1)”. Moje drugie pytanie brzmi: jeśli pierścień R jest głównym, to jego ideały są zawsze główne?

Dziękuję za przeczytanie i mam nadzieję, że odpowiesz na kilka moich pytań!

Answer 1

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli $R$ to pierścień i $S\subseteq R$ jest podzbiorem, to ideał wygenerowany przez $S$ definiuje się jako przecięcie wszystkich zawartych w nim ideałów $S$jako podzbiór. Innymi słowy, jest to najmniejszy ideał (przez włączenie), który zawiera$S$. Notacja jest$(S)$.

W szczególności, jeśli $S=\{a\}$ to zbiór z jednym elementem $(a)$ jest najmniejszym ideałem $R$ który zawiera element $a$. Teraz jeśli$R$ to pierścionek z jednostką to łatwo zauważyć, że zestaw:

$I=\{\sum_{i=1}^n r_ias_i: n\in\mathbb{N}\cup\{0\},\ r_i,\ s_i\in R\}$

To ideał, który zawiera $a$. W związku z tym$(a)\subseteq I$. Z drugiej strony,$(a)$ sam w sobie jest ideałem, który zawiera $a$a więc przez właściwości ideału musi zawierać wszystkie elementy $I$. Więc$I\subseteq (a)$jest również prawdą. Więc to sugeruje$I=(a)$, znaleźliśmy stosunkowo łatwy sposób na opisanie $(a)$.

Gdybyśmy też to wiedzieli $R$ jest przemienna, to byłoby jeszcze łatwiejsze, wtedy po prostu byśmy mieli $(a)=\{ra: r\in R\}$. (Sprawdź to)

Dobrze, teraz do definicji. Idealny$I$ nazywany jest głównym, jeśli taki istnieje $a\in I$ takie że $I=(a)$. Pierścień$R$ nazywany jest głównym pierścieniem, jeśli wszystkie jego ideały są zasadnicze.