Równanie na miejsce

Question

Zastanawiam się, jak znaleźć równanie, które definiuje to miejsce. W skrócie, miejsce to to wszystkie punkty w tej samej odległości od najbliższego punktu$e^x - 1$ tak jak $(0,1)$. Konfiguracja w GeoGebra pozwala mi również łatwo zmienić funkcję, od której zależy, co daje bardzo ciekawe wyniki dla prawie każdej funkcji (dla linii prostej tworzy parabolę).

Answer 1

Odległość od dowolnego punktu $P(x, y)$ w wymaganym miejscu do stałego punktu $Q(0, 1)$ jest dany przez $$PQ^2=x^2+(y-1)^2$$ Odległość od tego samego punktu $P(x, y)$ do pewnego stopnia $T$ na danej krzywej $(t, e^t-1)$ jest dany przez $$s=PT^2=(x-t)^2+z^2$$ gdzie $z=y-e^t+1$ W związku z tym $y-1=z+e^t-2$.

Punkt $T$ jest najbliżej $P$ kiedy $s$ to minimalny wrt $t$ : $$\frac{ds}{dt}=2(x-t)(-1)+2z(-e^t)=0$$ $$x=t-ze^t$$

Wymagane miejsce jest zdefiniowane przez $PQ^2=PT^2$ : $$x^2+(y-1)^2=(x-t)^2+z^2$$

Zastąp, aby wyeliminować $x, y$ pozostawiając równanie w $z, t$ : $$(t-ze^t)^2+(z+e^t-2)^2=z^2e^{2t}+z^2$$ $$t^2-2tze^t+e^{2t}+4-2(ze^t-2z-2e^t)=0$$ $$z=\frac{t^2+(e^t-2)^2}{2[(t-1)e^t+2]}$$

Współrzędne punktów na locus można uzyskać w postaci parametrów $t$ i $z(t)$ :

$$x=t-ze^t, y=z+e^t-1$$